热度 9|
从e谈起
最近我也进入了自我放假小期,闲来无事,于是突然想总结总结一些相关问题,于是便写了这个帖子。当然,事先说明,这个帖子只供欣赏,讨论,但是不能能作为考研的相关参考,因为一些探讨的问题考研数学根本不可能涉及,但是,其思想对于考研来说还是很有帮助的。我个人崇尚数学思想优先的原则,所以,我认为,数学的根本还是在于思想,也就是所谓的方**了。废话也不多说,进入真题吧。
众所周知,e是我们高等数学里面常用的一个数,是自然对数的底。作为一个无理数和一个超越数,她从诞生以来就引起了无数的数学家为之奋斗,探索其内在的性质。今天这里就简单介绍一下这个神奇的e。
定义
一切数学的本源都是从公理上面建立,然后通过定义一些概念,进行严格的数学推导后得到庞大的数学体系。数学分析的公理是建立在实数理论上面,在这之上,便是定义的一些基本概念。其中e就是通过极限定义得来的。
对于这个命题,我们可以有哪些问题呢?!
首先得知道为什么这个极限是存在的,这里就牵扯到了实数7大互等定理中的一条:单调有界函数必有极限。顺着这个思想,我们可以继续往下提问。要证明这个数列存在极限,那么需要证明这个数列的单调性和有界性。于是,这里便出现了两个问题
问题一:证明数列 单调。
问题二:证明数列 有界
于是,就这两个问题,我们可以进行一番推导。
首先考虑证明数列的单调性。
在同济高等数学六版中,给出了一个将数列二项式展开的方式说明数列单调递增。这里不加解释给出书上的过程
对比一下通项就可以得出结论了
这里再给出一个用基本不等式的方法的推导
这里得回忆下曾经学过的几何平均值不大于代数平均值
利用这个不等式,于是有如下结论
单调性得证!!
还有人可能会提出利用导数的方法来研究这个数列的单调性,这里个人认为不严谨。首先,数列是离散点,不能求导。其次,即使转化成了对应函数表达式,利用导数仍是不严密的,因为无论指数还是对数函数的求导法则,都是建立在e的这个极限定义上的,如果发过来用它证明单调性,属于循环论证了。当然,仅仅就讨论这个数列的时候求导方法不太适用,不过研究其他函数单调性,导数仍旧是个强大工具。
然后考察有界性。
证法很典型,高中应该都有所接触。后面的放缩也是经典方法,两种思路。等比放缩和列项放缩。可以好好体会下。
下面对e的定义做一个延伸。
其实这个等式是不难看出是成立的,那么,为何又如此繁杂的定义了另一个e的雷同表达式呢?其实,不妨从后面的那个数列的单调性进行考察,就会发现,原来这个函数的单调性与之前的那个相反。下面是这两个数列对应函数的图形。可以直观的去感受下这两个数列的变化趋势。
两个函数交点在无穷远处于e。
是不是觉得很神奇啊,然后我们就可以放心大胆的得出一个显而易见的结论了!
这个形式也许少见,不过取对数后,大家就会渐渐清晰其本源了。
然后令x=1/n,就得到最常用的对数不等式!!
以前大家都是利用导数对这个对数不等式进行证明的,这里我们用初等的方法就得到了这个不等式,这是多么和谐美妙啊!!!
接下来是对e的另一种表达形式的证明
乍一看,大家都会觉得,这不是显然的嘛!泰勒公式展开然后令x=1。可是仔细想想,泰勒公式直接拿来做这个题目实在是有点不严密。具体原因不讨论。下面利用夹逼原理来分析这个题目。
当然,这个问题确实有一定难度。不过里面却也包含了不少数学思想方法。
这个式子的作用是在对e做近似计算的时候功能很强大,因为n!变化的很快,所以随着不断增加展开的项数,得到的精确度在大幅度上升。
那么,下面就讨论下这个方法的误差的一个级别吧。
证明:
此题证明方法有点超范围,用0//0型的Stolz定理
举这个例子只是想说明,也可以说是验证泰勒公式中对误差估计
当然,此时我们是从纯极限的角度去理解的。
下面给出误差基本不等式,由大数学家欧拉首先发现
证明很简单,但是却又富有一定的典型性,故给出
证明的过程简单明了,因为是不等式证明,故必有放缩,而放缩技巧神马的这里就不说了,因为这个得靠实战训练去体验。这个证明过程里面最好的一个地方就是充分利用之前的结论,把这个误差写成了无穷级数的形式,使得问题转化成了一个级数问题,在某些地方就体现出了一定的优越性。比如说对整个式子的放缩上有了一定的方向。此乃此题方法亮点!
有了这样一个基石,我们可以讨论下一个问题了。
证明:e是无理数。
看到这个题目,估计大家还是挺茫然的。一是因为我们接触这种问题很少,其次即使知道具体方法,也很难入手。不过,有了前面的问题的铺垫,在这里这个题目相对简化了许多。首先,我们想想以前如何证明根号二是无理数的。没错,方法就是反证法。于是,这个问题也是通过反证法来做的。
证明过程中充分利用了整数的一些性质,加上之前的铺垫,解决了这个看似复杂的问题。
这样一个问题算是很经典的了,因为这里将e展开来进行一些变化使得问题解决。在一些其他题目中,也曾出现过这种类型的题目。下面给出一道供大家欣赏,思考。
今天就写到这里,以后慢慢继续补充。累死了~~~~(>_<~~~~
关于我们|商务合作|小黑屋|手机版|联系我们|服务条款|隐私保护|帮学堂| 网站地图|院校地图|漏洞提交|考研帮
GMT+8, 2024-5-7 16:23 , Processed in 0.059947 second(s), Total 9, Slave 9(Usage:3M, Links:[2]1,1_1) queries , Memcache On.
Powered by Discuz!
© 2001-2017 考研 Inc.