日志
“早恋”了又怎么样——抽象代数概论
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曾经有人对我说，
理论物理是科学里面最专门最难的学科之一，门槛是很高的，不是你看几天大学物理看几张费曼物理讲义就可以动手的（做小问题当然是可以），做理论物理的研究需要一定的才能，你如果想要用理论物理作为自己的事业的话，首先要问问自己有没有这方面的才能。确定自己有这方面的才能之后，首先要做的事情是理论物理的入门。至少要熟练掌握，高等数学，普通物理，理论力学，统计物理，电动力学，量子力学等课程。要大量的做这些课程的习题，不要以民科般的无知来鄙视做习题，再好的研究人员也是从爬格子做习题开始的，做习题这道工序可以锻炼你的数学能力加深你对物理的深入理解。没做过习题的人永远不知道做习题的好处。在这些大量的工作完成之前不要去上网跟那些人讨论所谓物理学里的“BIG PROBLEM”，尽管那些对一个学物理的人来说显得很美很有诱惑。人生有些事情提前做了是要付出代价的，就像早恋。
我就不信那个邪！我偏要研究物理前沿。我知道民科是平庸的，现代数学是必要的。好，我这就去啃现代数学。
我的第一个工作就是以一个旁听者的身份上高等代数。出乎意料的是，我居然能听懂。那么就得寸进尺吧，再听一听研究生的群论。出乎意料的是，我居然还能听懂。原来，数学并不像你想象的那么难，真的。有人说，学不好数学的人都是前世断了翅膀的天使；我想，断的应该是visual的翅膀吧，至少隐形的翅膀没有断，不然我怎么飞到屏幕前与大家交流呢？呵呵。
从线性代数到高等代数有一个质的飞跃，那就是线性空间。为什么是质的飞跃呢？因为这里的空间不是你心目中的那个“长宽高”的立体图形，而是一个集合！
抽象空间就是集合。集合？与三维空间有什么共同特征？别急啊，且听我慢慢分解。有了集合，拓展就容易多了。可以把空间看做定义了某种运算的集合。线性空间就是定义了线性运算的集合。何谓线性运算？加法和数乘（严格说是对这两种运算封闭）。有了线性空间，还可以进一步拓展。比如规定度量性质——内积。实数域上定义了内积的线性空间，便是欧几里得空间。再拓展到复数域上，便是酉空间。针对内积的不同情况，便有不同的线性空间。其中内积收敛（平方可积）的，便是Hillbert空间。这就到了我们前面谈到的量子力学基础。但我们暂且不谈量子力学，先回答抽象空间从普通三维空间继承下来的特征。我们知道，空间都有一组基，空间中任一向量可以展开为这样一组基的线性组合。线性组合的系数便是在这组基下的坐标。“基”这个概念伟大啊。有了基的概念，便可以有维数。维数就是基矢的个数。这样高维乃至无限维空间就都不难理解了。一方面，“基”不一定是i，j，k一组单位矢量，也可以是一组函数，只要它们之间是线性无关的就可以（这就是保留下来的特征）；另一方面，“基”有很多种取法，不同取法便对应不同的表象（通常将量子力学划分为波动力学和矩阵力学，就是分别针对位置表象和能量表象而言的），不同表象之间可以相互转变（即表象变换，说白了就是坐标变换），变换可以通过算符（别怕，它并不是什么神秘东西，不过是一种线性变换而已）来进行。既然有多种取法，那自然愿意选最简单的一种。经过尝试发现，选择“正交归一”的基是最方便的。正交什么意思？这里，你又看到前面引言中“拓展”那个词。正交便是“垂直”那个概念的拓展。归一怎么回事？从矢量角度讲，便是将其单位化。但这样不利于拓展。怎么利于拓展？寻找更本质的特征。后来发现，利用内积来定义“归一”更加普适，符合我们“追求普遍性”的心愿。其实，“内积”更容易被当成积分（毕竟有一个“积”字嘛），而不是三维几何空间中的点乘。可是，积分与点乘，看起来好像相差十万八千里，怎么扯到一块去？这就显示出数学的威力来了。我们要抽象，抽象，再抽象，抽象出不同事物的共同特征，然后加以拓展。你没发现吗？点乘是矢量运算，而矢量有分量形式，于是点乘结果不是一项（对于三维几何空间来说是3项），而是几项的和。好了，有了这个求“和”，便可以和“积”联系起来了。只要将离散的量连续化，便可以将求“和”化成“积”分。这个“求和与积分互化”可比高中时三角函数的“和差化积、积化和差”伟大多了。因为它不仅仅是一种运算方法，还是一种思想。思想？没错。数学不仅仅是语言还是思想。回忆一下最初是怎么引入定积分的吧，就是将整个曲线下的面积分割再求和。分割越细，求得的面积近似值越接近真实值。“由近似认识精确”，便是微积分思想的精髓。你去反思，“由近似认识精确”这种数学思想在物理学中占了多大比例。我们总是将一个函数作泰勒级数展开，然后略去高次项。我们这个“求曲线下的面积”包含了两个伟大的思想。一是“由近似认识精确”，一是“求和化成积分”。这两个数学思想都对物理学构成致命的影响，不论经典的还是现代的。实际上，从经典场论过渡到到量子场论就使用了“求和与积分互化”的思想（哲学上，反映了离散与连续的辩证统一）。好了，扯得远了，让我们再回过头来看刚才提到的内积。在三维几何空间中是两个矢量的分量相乘再求和，拓展到抽象空间（一种集合）中便是两个函数相乘再积分。那怎么归一呢？就是积分值为1.为什么非要是1呢？这可不能单纯地认为只是数学问题（为了数学上的一致性：拓展要保留部分原有特征），它还有物理意义呢。量子力学中，将波函数展开为本征函数的线性组合，组合的系数就是前面提到的坐标，系数的平方和其实是发现粒子的概率（波恩的统计解释），概率当然为1了（对于非相对论情形，要求粒子数守恒。到了量子场论，允许粒子产生湮灭，另当别论）。这和内积有什么关系？呵呵，我们不仅要重视结果，还要重视过程。结果是积分值为1，运算过程是怎样的？一方面，既然要求粒子数守恒，至少应该使积分收敛，于是便有了“平方可积”这个概念，这不就是前面提到的Hillbert空间吗？对加法和数乘运算封闭的集合便是线性空间，实数域上定义了内积的线性空间便是欧式空间，推广到复述域便是酉空间，其中内积收敛（平方可积）的便是Hillbert空间。看起来像绕口令，其实是反映了数学的逻辑严密性。另一方面，这个“系数”可以通过本征函数与波函数求内积（也就是本征函数的线性组合那个式子与本征函数自己求内积）得到。这其中可有点学问。“本征函数的线性组合那个式子与本征函数自己求内积”这话有些蹊跷。既然展开需要一组基矢，言外之意是本征函数不止一个。那么，将这么一个线性组合的表达式与哪个本征函数求内积呢？假设它是ψ1，显然，这个组合的表达式中必然也包含了一个ψ1，并且包含了其他的本征函数ψ2.如果1与1作内积便是1，1与2作内积便是0.更一般地，把这里的1换成m，2换成n，即是说m与n相等时内积为1，不相等时为0.这就是δ符号（克罗内克符号，过渡到连续情形，便是狄拉克函数）。这么一个符号有意思啊。怎么有意思呢？如果我们试图将它用矩阵表示出来，便会发现这个矩阵除了主对角线外的其他元素都是0.换句话说，“正交”意味着对角矩阵。矩阵表示？感觉很抽象吗？其实，这是将抽象的线性代数理论形象化的最简单办法。“表示成矩阵”的结果固然美观，但如何表示呢？这个转化的过程会不会很难？其实也不太难。你不是已经熟悉矢量了吗？我们可以将它拓展为张量。标量就是零阶张量，矢量就是一阶张量。很自然地，我们会问二阶张量是什么。它就是矩阵。更高阶的，那就是“立体矩阵”了。张量这个复杂的东西不应该陌生，因为你最熟悉的电磁场就是张量，表示出来是4×4矩阵（之所以是4×4而不是3×3，就因为电动力学的数学基础是相对论，而相对论主张时间与空间不可分割，构成统一的4维时空。对于3维空间里的张量，其矩阵便是3×3的，例如极化矢量，之所以不是2维而是3维，是由空间各向异性造成的）。张量本身是抽象的，表示成分量形式（即矩阵）就容易理解了。我们的波函数也如此。张量以其分量为一组基，我们的波函数就以其本征函数为一组基，这不是很自然吗？好了，我们前面反复谈本征函数，究竟什么叫本征，为什么它就能反映出“本质特征”呢？我们前面不是提到表象、又提到矢量了吗？现在就把这两样东西整合起来。在表象变换（不深奥，就是坐标变换）中，矢量的大小、矢量间的夹角是不变的。这有什么意义？几何中两矢量大小相乘再乘以夹角的余弦便是内积！不论怎么变换，矢量的度量性质（内积）是不变的。它不依赖于坐标系的选择。既然矢量本身的性质（如度量性质）不随坐标系（或说的更本质些，基矢）的改变而改变（其实，对称也是一种变换中的不变性，即变换后与原来重合。而描述这种对称变换的数学便是群论。呵呵，这种“变中之不变”听起来有点“拓扑学”的味道，其实薛定谔方程式有拓扑结构的。不过，这在哲学上是容易理解的，对称不变性与拓扑不变性都反映了变与不变的辩证统一），那么当然就是它的比较本质的特征了（本质特征，简称本征）。坐标系是什么？物理学中就是参考系啊。物理规律不随参考系改变而改变，这很自然嘛。似曾相识吧？这就是相对论的基本原理啊。等等，不是谈量子力学吗，怎么扯到它的死对头上去了？其实，相对论与量子力学之所以不好统一，不在于“相对性原理”，相对性原理在哪里都对。关键在于另外一个基本原理（对于狭义，就是光速不变原理；对于广义，就是等效原理）。所以，如果微观客体也遇到需要考虑相对论的情形，量子与相对论就不再是死对头，而可以联姻了。比如微观粒子也会有跑得特别快的（接近光速），这就需要考虑狭义相对论，于是量子电动力学应运而生。至于加速系与引力场的等效，也不是与量子力学毫无关联，只是关联大小问题（说的深点，就是“弱等效”还是“强等效”的区别）。这个问题至今未被大师们解决，我们小辈就不敢妄谈了。
未完，待续……
