线性代数知识点框架（五）

由矩阵乘法的特点可知，计算一个矩阵A的n次方，相对于数乘运算来说要繁琐得多。我们注意到，如果存在可逆矩阵P和对角矩阵∧，使得A=P*∧*P逆，那么有：
A^n=（P*∧*P逆）^n=（P*∧*P逆）（P*∧*P逆）…（P*∧*P逆）=P*∧^n*P逆
由于对角矩阵的乘方容易计算，从而问题得到大幅简化。

对矩阵A、B来说，如果存在着可逆矩阵P，使得A=P *B*P逆，我们称A与B是相似的。特别地，如果A与对角矩阵∧相似，则称A可对角化。由此可见，如果矩阵A可对角化，那么A^n的计算将变得简单许多。故可把相似的说法理解为一个在寻找矩阵乘方简便运算的过程中提出来的概念。

相似的矩阵有许多共同的性质，如有相同的秩和相同的行列式值，相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，等等。

设矩阵A相似于对角矩阵∧，那么：
A=P*∧*P逆
<=> AP=P∧，其中P为可逆矩阵
<=> A*（a1, a2, …, an）=（a1, a2, …, an）*∧，其中a1, a2, …, an分别为可逆矩阵P的列向量，λ1, λ2, …, λn分别为对角矩阵∧的主对角线上元素
<=> A*a1=λ1*a1，A*a2=λ2*a2，…，A*an=λn*an
也就是说，矩阵A能对角化的关键，在于找到n个常数λ1, λ2, …, λn和n个线性无关的向量a1, a2, …, an（因为这些向量构成的矩阵可逆，这也决定了零向量不是特征向量），使得A*ai=λi*ai（i=1，2，3，…，n）。
我们把满足条件A*ai=λi*ai的λi称为矩阵A的特征值，ai称为矩阵A对应特征值λi的特征向量。换句话说，一个矩阵能够相似于对角矩阵的充分必要条件是：存在n个线性无关的特征向量。

接下来的问题是如何求矩阵的特征值和特征向量？一个方案是从定义A*ai=λi*ai出发，直接寻找满足这样要求的λi 和ai，但这一般是不容易做到的，故还有必要去建立一种更为普遍的方法。

设A*ai=λi*ai
<=>（A-λi*E）*ai=0
<=> 对λi来说，ai是齐次线性方程组（A-λi*E）*X=0的一个非零解（因为ai构成的向量组线性无关）
<=> 方程组的系数行列式det（A-λi*E）=0
由此可见，每一个特征值λi都是多项式det（A-λ*E）在指定数域（一般是实数域）上的根，我们称这个多项式为矩阵A的特征多项式，不难验证，它是一个λ的n次多项式。依据特征方程det（A-λ*E）=0，即可求出矩阵A的全部特征值。

对矩阵A的每个特征值λi，求齐次线性方程组（A-λi*E）*X=0的解，得到的全部非零解（一般可用基础解系表示）就是A的属于特征值λi的全部特征向量。由此可得到两点启示：对同一个特征值来说，特征向量不唯一；对同一特征值来说，特征向量的线性组合仍为特征向量。

相似的矩阵有相同的特征多项式和特征值，但有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似。相似的矩阵有相同的秩，故一个可对角化矩阵的非零特征值的数目即为其秩。

在求出矩阵的全部特征值和全部特征向量以后，剩下的问题就是判断这些所有的特征向量中有没有n个是线性无关的？如果有，意味着矩阵可对角化，如果没有，则矩阵不可对角化。

对一个矩阵A来说，考虑到其n个特征值可能相同也可能不同，故最一般的情况应该是把A的这n个特征值分为m组，分别为λ1, λ2, …, λm，每组的个数分别为j1，j2，…，jm（注意有j1+j2+…+jm=n），对每个λi（i=1，2，…，m），齐次线性方程组（A-λi*E）*X=0的基础解系解向量的个数分别为r1，r2，…，rm，这些基础解系各自当然都是A的线性无关的特征向量，自然会进一步联想，把这m组共r1+r2+…+rm个向量合在一起情况如何，是否仍线性无关？

经过考察发现，矩阵A的属于不同的特征值的特征向量一定线性无关。故上述r1+r2+…+rm个来自不同特征值的特征向量构成的向量组确实是线性无关的。于是不难有如下结论，若r1+r2+…+rm=n，则A有n个线性无关的特征向量，从而A可对角化，若r1+r2+…+rm<n，则A没有n个线性无关的特征向量，从而A不可对角化。

若矩阵A具有n个不同的特征值，则A可对角化。

由此可见，要判断一个矩阵是否可对角化，通常需要求出其全部特征值（相当于解代数方程的问题），再求出每个特征值所对应的特征向量（相当于解齐次线性方程组的问题）并考察其相互之间的线性无关性。亦即我们应当建立起这样的认识：相似变换，尤其是相似对角变换，并不是对任何一个矩阵来说都可以进行的，这其中关键在于能否找到一个可逆矩阵P来为两者提供联系，换言之就是应当满足某些对应的条件。当然，可以想象，也许对于具有某些特点的矩阵来说，它们本身就满足这种既定条件，从而必可以对角化。

实对称矩阵就是这样一种特殊的矩阵，它一定存在着n个线性无关的特征向量，即一定可对角化。实对称矩阵属于不同特征值得特征向量是正交的，而之前已经提到过，对同一特征值来说，其特征向量的线性组合仍是其特征向量，故可利用施密特正交化方法（本质是线性组合）来构造出一组属于同一特征值的正交特征向量，这些正交化单位化后的特征向量就决定了实对称矩阵一定可以正交对角化。要注意到正交矩阵当然是可逆的，正交的向量组当然是线性无关的，这是实对称矩阵对于一般矩阵来说在相似变换性质上更为优越的地方。