零点取值的情况问题，牛校常考，一般简单的题型离不开零点存在定理，这个简单，无论是问你存在有限或者无限个零点，或者零点的极限问题，现在这个问题基本秒杀，就是找特殊点连着taylor公式就解决了，但是研究往年牛校在考零点问题的出题规律，零点存在定理没有出现的迹象，已经换了一种方式来考察，很阴！今天早上起来遇见两题，零点问题，在这两题的面前，零点存在定理没有它存在的价值，反而使解题陷入僵局，搞了我一上午。。。。

原题：i))考察一列函数列fn(x)=1+x+(1/2!)x^2+....+(1/n!)x^n，她的根为yn,证明yn的一列非常平凡奇数子列趋于-00

          ii) 设f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0,Vx属于[0,1],|f'(x)-1|《|f(x)|-x,求证：f(x)=x有无穷多个解

i)这个看上去没什么难度，很像e^x的幂级数展开式，第一步肯定是写成e^x相差一个高阶无穷小的形式，选拉格朗日余项和皮亚老余项均可以，我选择拉格朗日余项

i)Rf:设e^x=1+x+....+(1/n+1!)(e^a)x^(n+1)=fn(x)+(1/n+1!)(e^a)x^(x+1)!      (x<a<0)

      可设yn的奇数子列为Xk,则e^(xk)=f2k+1(xk)+(1/2k+2!)e^(ak)(xk)^(2k+2)=(1/2k+2!)e^(ak)(xk)^(2k+2)

       如果直接取k-->+00,不行，因为不知道右边收敛？只对她的近似表示式研究，得不出来

      只能反证！（反证法）若不然,.xk有界，可设xk《M

      则上式右边《（1/2k+2!）M^(2k+2),可设：bk=(1/2k+2!)M^(2k+2)

      则bk/bk-1=M^2/[2k(2k+2)],显然，当K足够大时《1

      则：bk为单调递减数列，且bk》0有下界，故收敛(K足够大)

      又bk=[M^2/2k(2k+2)]bk-1,两边趋于+00.，可得：bk-->0,k-->+00

      则e^(xk)--->0,k--->+00==>xk--->-00，xk无界，矛盾！

      再证xk<0,事实上，若不然，Vy>0.Vn属于N，fn(y)》1>0

      ie:若f2k+1(x)有根xk,则xk一定小于零，又xk无界

      则xk-->-00,k-->+00  #

其实，从fn(x)的特点上去观察，还有另外一种方法，可以通过单调性研究xk的单调性，

事实上，f’2k+2(x)=f2k(x),且f2k(x)=0,一定没有实根的，若不然，存在zn成立f2n(zn)=0

由上面可得：e^(zn)=(1/2n+1!)e^(an)(zn)^(2n+1),左边>0.右边<0.矛盾

ie:f2k+2(x)恒增，然后研究f2k+2(xk-1)是否大于零即可，还有一种方法研究xk的单调性，用罗尔定理，不过这个比较烦。。。。无论哪种方法，跟零点存在定理根本不沾边，看似像考

零点存在定理，事实上，零点存在定理只能陷入僵局，最大的原因是它不是简单的函数，特殊值找不到啊！

ii):从f(0)=0.还有那一串不等式中都带有绝对值号很吓人，可以大概估计，如果有有无穷个零点，应该在原定点附近出问题，离原点越远，越不可能有无限个，思路就出来了

Rf:(反证法)，设,F(x)=f(x)-x==>F’(x)=f’(x)-1,若不然，F(x)在原点右边一个足够小领域内

只有有限个零点，则存在一个足够小的6领域，F(x)在这个邻域内一定同号（若不然，就违反零点存在定理）

不妨设F(x)》0.==>f(x)》x》0，绝对值号搞掉了|F‘（x）|《f(x)-x

则|F’(0)|《0及lim|F‘（x）|《0==》F’(x)在0点右连续，且F’(x)-->0,x-->0+

又f(0)=0.现固定一点a1属于[0,6],且F‘（a1）不等于零，（若不然Vx属于[0,6],成立F’(x)=0.则命题得证）由f(x)在[0,6]上满足拉格朗日中值定理

故存在a2属于(0,a1),成立：|F’(x1)|《x1|f’(a2)-1|《|F’(a2)|,。。。一直这样下去，存在an属于（0，an-1）成立|F’(an-1)|《|F‘（an）|及，|F’(a1)|《|F’(a2)|《。。。。，an-->0,n-->+00

 ie ：|F‘（an）|是单调递增数列，又f(x)-x在[0.1]上连续，则有界，|F’(x)|《|f(x)-1|，则

|F’(an)|有上界，故收敛，则lim|F’(an)|》|F’(a1)|>0，又F’(x)在零点右连续，则，lim|F’(x)|(x-->0+)=0=lim|F’(an)|(n-->+00),矛盾  #

这条题目看似考零点问题，但是，她其实是从零点问题推出函数极限与数列极限的关系，

就好像若f(x)在[a,b]上一致连续的充分必要条件是V两列点列，Xn,yn若|xn-yn|-->0+,则|f(xn)-f(yn)|-->0+,同样的道理，跟零点存在定理P关系都没有，零点存在定理在这里是一个陷阱，误导你踩进去！