微积分还有一个名称，叫 “无穷小分析” 。 两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“ 无穷小的比较” 。 如果商的极限为 1 ，则分子分母为 等价 无穷小。极限为 0 ，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为 同阶 无穷小。 为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。 利用 Δ y ～ d y （数学一，二用 T 公式）生成等价无穷小 —— 当 f ′ （ x0 ） ≠ 0 时 ， Δ y ～ d y ，在原点计算 Δ y 和 d y ，得到常用的 4 个等价无穷小 sin x ～ x ； ln （ 1+x ）～ x e xp （ x ） － 1 ～ x ； √（ 1+ x ） － 1 ～ x ∕ 2 最好再记住 1 － cos x ～ x ² ∕ 2 （ e xp （ x ）记以 e 为底的指数函数） 等价无穷小的复合拓展 —— x → 0 时， α (x) 是无穷小，则 sin α (x) ～ α (x) ； ln （ 1+α (x) ）～ α (x) ，…… 标准阶无穷小与无穷小的阶 —— 高等微积分中，把 x → 0 （或 0+ ）时，幂函数 y = （ x 的 µ 次方） 称为 µ 阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是 µ 阶无穷小。于是，常用的 1 阶无穷小有， x ， sin x ， tg x ， arcsin x ， arctg x ， e xp （ x ） － 1 常用的 2 阶无穷小有 1 － cos x 等价无穷小的差为高阶无穷小 —— 值得记一记的有（常见的三阶无穷小） x − sin x ~ x³ / 6 x − lnx （ 1+ x ） ~ x² / 2 ， exp （ x ） －（ 1 + x ） ～ x ² /2 ！ ，…… 不同阶 的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。 比如 y = ln （ 1+x ） + 1 － cos x 是 1 阶无穷小 再复杂一点， 5x − sin x － cos x + 1 = 4 x+ （1 － cos x） + （x − sin x ） ， 是 1 阶无穷小 由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。 无穷小的积是高阶无穷小。 无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。 比如， x→0 时， x2 + 3x 与 x 同为１阶。实际上， x2 + 3x = x （ x+3 ），后因子极限非 0 但 x sin （ 1/x ）的阶数不能确定。 在阶的意识下对 0 / 0 型未定式作结构分析与调整 —— 例 1 x→∞ ， 求 lim x sin （ 2x/ （ x²+1 ）） 分析 x→∞ 时， 2x/ （ x²+1 ）是无穷小， sin （ 2x/ （ x²+1 ））～（ 2x / （ x²+1 ），可替换。 例 2 x→0 时， 求 lim (5x − sin x － cos x + 1)/(3x-lnx) 分析 原极限 = lim (4x + 1 － cos x + x − sin x) / (2x +x -lnx ) 分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化 0 项法”， 分子分母同除以（商式中的）最低阶的无穷小。 原极限 = 2 例 3 x→0 时， 求 lim （ 1/ x² ） ln （ sin x / x ） 分析（数三学过幂级数） sin x = x － x³ / 6 + …… ln （ sin x / x ） = ln （ 1 — x ² / 6 + ……）～ — x ² / 6 ，可替换。 无穷小怪例 ——不能确定阶数的无穷小 怪例 1 α = x sin （ 1/x ）和 β = x 都是无穷小，但是它们的商是震荡因子 sin （ 1/x ），没有极限。两个无穷小不能比较。 更有意思的是，若 γ = x 的 k 次方，则无论 k = 0.9, 还是 k = 0.99, k = 0.999, ……， α 总是比 γ 高阶的无穷小。 怪例 2 x → + ∞ 时 ， l i m （ x 的 n 次方） ∕ exp （ x ） = 0 即 l i m （ x 的 n 次方） exp （ － x ） = 0 这表明：“ x 趋于 + ∞ 时，指数函数 exp （ x ）是比任意高次方的 幂函数都还要高阶的 无穷大。” 或说， x → + ∞ 时 ， exp （ － x ）是“任意大阶的”无穷小。 它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。 怪例 3 x → + ∞ 时 ， lim l n x ∕ （ x 的 δ 次方） = 0 其中， δ 是任意取定的一个很小的正数。这表明： x → + ∞ 时 ， “ 对数函数 lnx 总是比 x 的 δ 次方 都还要低阶的 无穷大。”或说， 1/ l n x 是“阶数任意小” 的无穷小。 无穷小的阶与级数，广义积分收敛性 —— 判断 级数，广义积分收敛性， 首先判断绝对收敛性。如果用“无穷小量”的语言来说，则，“级数收敛的必要条件是， n → + ∞时 ， 级数的通项是无穷小量。” 这个条件不是充分条件。如果我们 已经判定 正项级数的通项的无穷小阶数为 p ， 则 p > 1 时级数收敛， p ≤ 1 时级数发散。 “已经判定”是重要前提。 请看（并记住）怪例 尽管 1 / n ln n 是较 1/n 高阶的无穷小，但是，通项为 1 / n ln n 的级数也发散． 然而，通项为 1 / n (ln n)² 的级数收敛．你却不能确定其无穷小阶． ＊若 n → + ∞时 ， 两个正项级数和的通项是同阶无穷小，则这两个级数或者都收敛，或者都发散。（这是极限形式的比较法的实质。） 例 ∑ Un 为正项级数，下列结论中正确的是 ______ （ A ）若 n → + ∞时 ， lim n Un = 0 ，则 ∑ Un 收敛。 （ B ）若 ∑ Un 收敛，则 n → + ∞时 ， lim n² Un = 0 （ C ）若存在非零常数 λ ，使得 n → + ∞时 ， lim n Un = λ ，则级数 ∑ Un 发散。 （ D ）若级数 ∑ Un 发散，则存在非零常数 λ ，使得 lim n Un = λ 分析 （ A ）错，条件虽然说明 n → + ∞时 ， Un 是比 1/n 高阶的无穷小，但我们不能确定其阶数。 答案为（ C ），它说明 n → + ∞时 ， Un 是与 1/n 同阶的无穷小。 对于广义积分．有判断定理 —— 若ｘ→ + ∞时 ， ｆ （ｘ）是（能够确定的）大于１阶的无穷小 ，则 ｆ （ｘ）的无穷积分收敛. 若ｘ→ ｂ 时， ｆ （ｘ）是（能够确定的）低于１阶的无穷大， 且 ｆ （ｘ）在［ａ，ｂ］上只有这一个“暇点”，则 ｆ （ｘ）在［ａ，ｂ］上的暇积分 收敛。 （潜台词：要收敛吗？“好”要好到一定程度，“坏”也得尚可救药。）