一元微积分学的基本内容，是“用导数研究函数，研究函数以讨论积分。”讨论连续函数的符号，是基本内容的一条主线。

           1。符号讨论主线 定理（1） “保号”定理

            —— 若自变量 x→∞ 时 ，相应的函数值 f (x) 有正的极限A ，即∣x∣增大时函数值f (x) 无限接近正数A ，则当∣x∣充分大时 ，恒有  f (x) > 0

             —— 若自变量x→ x0 时 ，相应的函数值 f (x) 有正的极限A ， 则当x 充分靠近x0 时，即在x0 的一个适当小的去心邻域内 ，恒有   f (x) > 0

          （潜台词：近朱者赤，近墨者黑。如此而已。）

           典型应用1 —— 连续函数一点大于0 ，则一段大于0

           逻辑发展典型  ——  f (x) 在区间（a ，b）上连续非负。则f (x) 在（a ，b）上积分为0的充要条件为 f (x) 在（a ，b）上恒为0

          （潜台词：如果需要，可以补充定义端点值为极限值。）

           典型应用2 —— 一点可导且导数大于（或小于）0的推理

            设函数 f (x) 在点x0 可导，且 f′ (x0)  > 0 ，则

             → f (x) 在点x0 可导 → f (x) 在点x0连续    →    f (x) 在点x0的某邻域内有定义

             将  f′ (x0) > 0还原成定义式 ， 即     Δx → 0时，l i m（Δy /Δx）> 0

                     →（体验符号，近朱者赤。）在x 0的某去心邻域内，增量商恒正 ，分子分母同号。

                       → 分母Δx在x 0左側为负，右侧为正，分子Δy也只能左側为负，右侧为正。

                                → 在x 0左側邻近，恒有f (x) < f（x 0），而在右侧邻近，恒有  f (x)> f（x 0）

                （潜台词：我们并不知道各函数值之间谁大谁小。不能与单调性相混。）

 

            → f（x 0）不是函数的极值，更不会是函数的最值。

               （画外音：这下你就懂了，“已知一点导数大于0”与“已知一个区间内导数大于0”的差别。

有人问，你能举出一个点孤立可导的函数例吗？那是另外一个问题了。有点钻牛角尖。）

            2。符号讨论主线 定理（2）连续函数介值定理推论

            —— 连续函数取正取负必取零。

              （潜台词：讨论方程 F(x) = 0 的根，总可以转化为讨论函数F(x)的零点。）

            逻辑发展 ——

              —— 没有零点的连续函数定号。只有一个零点的连续函数定号或分两段定号。

            （潜台词：简单的反证法逻辑。）

                   —— 连续函数在相邻的两个零点间不变号。

                        —— 在连续区间（a ，b）内，函数图形被其零点分成了恒正或恒负的若干段。

              （潜台词：各段究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）

             逻辑发展典型 ——

               若函数 f (x) ，g(x ) 都在区间（a ，b）上连续，则函数  y = man（f（x），g(x )）也在（a ，b）上连续。

               （画外音：作差函数 F =  f（x）– g(x ) ，则F连续。F在相邻的两个零点间不变号。函数y = man（f（x），g(x )）在这一段要么为f（x），要么为g（x），当然连续。

               只需任选一个等值点（F的零点），证明y = man（f（x），g(x )）连续。）

              逻辑发展典型 ——（费尔玛引理）

               若f (x) 在区间（a ，b）上可导，且在（a ，b）内一点x0取得最大值或最小值。则必有  f′ (x0)  =  0

               （画外音： f (x) 在点x0可导的充要条件为 左导数 = 右导数 。

写出定义，利用最值讨论左导数 = 右导数符号。逻辑推理判 定 f′ (x0)  =  0 ）

                逻辑综合发展典型 ——（达布定理）若f (x) 在区间（a ，b）上可导，则其导函数自然满足连续函数介值定理。

             （潜台词：导函数不一定连续。）

               3。典型（连续）不可导的成因分析

                从图形上看连续函数取绝对值 —— 连续函数f (x) 在相邻的两个零点之间不变号。

                 如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间，函数 y =∣f (x)∣与 f (x) 的图形相同。

               如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。在这两个零点间，f (x) 的图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。成为 y =∣f (x)∣的图形。

               如果f (x) 可导，则称曲线 y = f (x) 光滑。从前述图形关系可以看出，在 f (x)  恒为正或恒为负的区间内，曲线 y = | f (x) | 和曲线 y = f (x) 的光滑性是一致的。

               符号讨论主线结论（3） —— 只有在 f (x)   的零点处，才可能出现曲线 y = f (x)  光滑 ，而曲线 y = | f (x) | 不光滑的状况。

             y = sin x 在原点为0，在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。

             让它的图形在原点右侧段不变，而将左侧段对称地反射到上半平面，就是y = | sin x | 的图形。反射使得曲线 y = | sin x | 图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。

            （潜台词：从几何上看，曲线y = sin x的切线被分成左，右两射线，形成一个角。）

              同理  y = | lnx| 在点x = 1不可导。

            这是否是一个普遍规律？不是！比如 y = x3  与 y = | x3 | 在x = 0点都可导。

函数 y = x3 的图形叫“立方抛物线”。在点x = 0，函数导数为0，图形有水平的切线横穿而过。

             4。符号讨论主线结论（4）拉格郎日公式推论2

            —— 若f (x) 在区间（a ，b）上可导，且导函数 f′ (x) > 0 ，则f (x) 在区间（a ，b）上单增。

              逻辑发展（“逐阶判符号，分段说单调”）—— 一个很好玩的游戏

            设函数 三阶可导，f′″ (x)在点x0连续。又已知其一，二阶导数在点x0都为0，而三阶导数不为0，不仿设f′″ (x0)>0 ，则有

                 → 连续函数一点大于0则一段大于0。在点x0 邻近三阶导数f′″ (x) 恒大于零。

                           → 三阶导数大于零，则二阶导数单增。又因为 f″ (x0) = 0 ，故

                      当x由左方趋近点x 0 时，f″ (x) 由负单增到0  ；

                   而从x 0点向右，f″ (x)由0单增为正。 x 0 两側二阶导数反号，图形上点（x0，f (x 0)）是拐点。

                   → 在x 0点左側，一阶导数单减，且由正单减到0 ；

                          在x 0点右側，一阶导数单增，且由0单增为正。f ′(x 0) = 0是一阶导数的极小值。导数的一个孤立零点。

                                     → 函数 f 在点x 0邻近单增

                    典型应用——“单调法”证明函数不等式

                       证明x >x 0 时，f (x) >g (x)，即证明 F = f (x)-g (x) >0 ，能否运用单调法，先看有没有“初始信息”，再对F求导。看导数正负说单调，两者结合确定函数F的符号。

                        这条主线玩熟了，你会提高很多。