微积分中哲学(13)…我们的祖先把除法叫"归一法". 无论除数是整数，小数，分数，“商”都表示"除数一个单位相应的被除数值"。学习"导数"定义，你先得理解，无论自变量增量多少，"增量商"总表示，“自变量变化一个单位，函数相应变化多少。”即在中心点(边际点，临界点)邻近，函数的平均变化率。这个描述帮你深刻理解除法。

        微积分中哲学(14)…数学描述并非只是语言描述。很多定义都含算式，如"可导"，"向量组线性相关"等。要理解定义，你总得诠释算式的内含。另一方面，在应用中，一旦题上有与某定义相关的描述，你得立即回写出定义式。定义的权威带来能动性。线性代数中读到"齐次方程组解的线性组合还是解"，你能立刻反应，"把它代入方程组看看"，那就入门了。

        微积分中哲学(15)… 很多算式可借运算作恒等变形。奇妙的是，变形前后往往有不同的描述，进而可能有新的推理方式，有时便收柳暗花明之利。如《三角》中的倍角公式。在基本可积类型中用来"降幂"。即由倍角公式反解出 cos x平方=(1-cos2x) /2  ，便很容易找到cos x高次方的原函数了。《线性代数》中最重要的转换是，“线性相关性”与“齐次线性方程组有无非零解”的相互转换，贯穿于全书。

      微积分中哲学(16)… 当点x与x0的距离趋于0时，要检验函数有极限a ，需要准确描述函数值与a无限接近。这是一个最哲学的问题。任何一个具体标准，都只能表示“一定程度接近”而非“无限接近”。要说明“无限接近”，必须对任意一个标准，都能求出x0的相应邻域，在其内函数值与a的距离满足（小于）此标准。

        微积分中哲学(17)…准确描述“无限接近”的语句称为“ε–δ语言”。ε 是任给的充分小正数，好比检验者给出的标准。令 | f（x）–a |＜ε ，若视 ε 为常数，且由此能解得| x–x0 |＜δ，就表明在x0的δ邻域内，函数值与a的距离总小于ε，再由ε的任意小性，表明标准是任意小的，“无限接近”的本质，即距离 | f（x）–a | 趋于0

        微积分中哲学(18）…“ε–δ语言”是高等微积分的精华，也是微积分的基本工具。没有它我们不能证明任何一个与极限有关的定理。它内含深刻哲理，且要解得 | x–x0 |＜δ 的 δ ，又需要各类解不等式技巧。大学数学必须讲它，而非数学专业的的本科生是基本上理解不了它的。招研统考多年，从未直接在此点命题。

        微积分中哲学(19）…国家研考数学常考“保号性定理”，以弥补不考“ε–δ语言”之憾。即,”若x趋于x0时函数f(x)有正的极限，则在x0的适当小（去心）邻域內，函数值全为正。” 教材上没有证明这个定理。需要体验极限。学生总感觉描述性定理抽象难懂，为了帮助学生体验”无限接近”，我说，这就是“近朱者赤”定理。

        微积分中哲学(20）…研考数学还常考“极限不存在”。你还得由反面体验极限。首先是“震荡因子”y=sin(1/x)，当x趋于0时，具体如x由0.001进到0.0001，1/x便由1000变为10000，复合函数图形上下波动了1400多次。好象一片电子云。震荡不存在极限。其次是y=arctg x，当x趋于无穷时，“左，右极限”不相等，没极限。

        微积分中哲学(21）…典型的连续不可导是y=| x| 。考研题常设函数f(x)可导，让讨论y=| f(x)|的不可导点。可导一定连续。f(x)在相邻两个零点间不变号，即分段定号 。从图形上看，正段取绝对值不变，负段取绝对值则对称地映照到x轴上方。故y=| f(x)|只可能在其0点处产生不可导。看图即知，“单零点”才会变为不可导点。

        微积分中哲学(22）…正反两面映照，让人认知深刻。我的导师说，“一个怪例也许就是一座里程碑。”正反皆有怪例。如，y=xsin(1/x)与y=x是两个比较不出阶数高低的无穷小。另者，用洛必达法则易检验，（选幂函数作比较），x趋于正无穷时，指数函数y=exp x是任意高阶的无穷大，而y=ln x是任意低阶的无穷大。

        微积分中哲学(23）…微积分研究函数，其讨论沿“四则运算”与“复合”结构向前推演。且有“在极限都存在时，函数四则运算的极限，等于各函数极限的四则运算。”之类的正面结论。但是一正一反两者间在四则运算时有无必然逻辑呢？我让学生先写出，存在A+不存在B=C(?) ，笔下生花花自红，写与不写大不同。由于逆运算，C(?)—存在A=不存在B，这就可用反证法断定，''C一定不存在“。这个结论可以具体到连续或可导等情形。

         微积分中哲学(24）…研考真题，“ y = sin x + | (1-x)x| 有（两）个连续不可导点。”熟悉前述逻辑，显然在x=0，x=1处，标准的，可导+连续不可导=连续不可导。1分钟即知答案。对于乘法，存在A 乘以 不存在B = C(?)，显然逆运算不一定成立。如果问题在点x0讨论，如果先设A（x0）不为0，则逆运算成立，反证法可行，C不存在。

         微积分中哲学(25）…将前述结论应用到求乘积AB极限情形，将得到一个求极限的特殊手段。“有非零极限的因子A可以先求极限。”无论B的极限存在或不存在，乘积AB或相应有极限，或也不存在极限。具体如，x趋于0时，y =（2+x）sin(1/x)不存在极限。如果求极限时需要有理化分子，而有理化因子有非零极限a，你可以直接记为分母乗以a