非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。

基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。

数学概念第一是定义。定义是最基本的游戏规则，定义是数学逻辑的起点，定义是数学推理的依据。

深刻的概念意识会给我们带来思维能动性。

 

1。《线性代数》中最为典型的范例 ——

《线性代数》的前置概念是“方程（组）的解（根）”。

“如果把一个数（或向量）代入方程（组），方程（组）就化为恒等式，则这个数（或向量）就是方程（组）的解（或解向量）。”

这是初等数学的内容。

很多学生在《线性代数》中学到，

“齐次线性方程组AX = 0的两个解向量的和，乃至任意有限个解的线性组合，仍然是它的解。”

“非齐次线性方程组AX = b的两个解向量的和，通常就不会再是它的解。”

往往根本没有“把和向量（或线性组合）代入方程组验证”的下意识冲动。他们只有眼前的两行中文字。

历史的“概念意识欠债”使这些学生学习《线性代数》严重地先天不足。

（潜台词：“你也许就是这样的。”）

 

上述下意识冲动就是“概念意识” 带来的思维能动性。概念意识越深，这种思维能动性越强。

“方程（组）的解（根）”概念意识深刻，你进一步可以有如下之类反应：

看到恒等式（A-λE）α= 0 时，就能联想到，“向量α是齐次线性方程组（A-λE）X = 0 的非零解”。

然后，你自然会想到“齐次线性方程组有非零解的充要条件”，……，逻辑推理自然而然，水到渠成。

……………………………………

 

2。“方程的解”概念应用在《高等数学》

在《高等数学》微分方程部份，同样有类似问题。这里有前后三次重要运算，都运用了微分方程解函数概念。形成一个常用技术——

“运用已知微分方程作约束条件的待定系数法”

 

计算1 —— 常数变易法

已知一阶线性微分方程 y′+ p（x）= q（x）

相应的齐次方程 y′+ p（x）= 0的一个非0特解y（x），再求其自身的一个特解 y*（x）

设  y*（x）= C（x）y（x） ，带入原方程地恒等式，再利用“y（x）是相应的齐次方程的解”，就产生关于C（x）的最简微分方程。

（潜台词：反复应用“方程的解概念”。）

 

计算2 —— 求二阶常系数齐次线性微分方程的基础解系

二阶常系数齐次线性微分方程  y″+ p y′+  q y  = 0 的基础解系，由两个线性无关解（即两个解函数的商不是常数）组成。

猜指数函数 y = exp（λ x）是解，带入原方程，消去指数函数，得到“特征方程”—— 未知量λ的一元二次方程  λ² + p λ + q = 0

两个不相等的根，相应得到两个线性无关的指数函数解。组成基础解系。

如果特征方程恰有二重根λ ，只能相应产生一个解函数 exp（λ x） ，则可设另一个解函数为   

  y = u（x）exp（λ x）

应用“方程的解概念”，带入原方程，消去指数函数，就得未知函数u（x）所满足的微分方程。且实质上是个可降为一阶的微分方程。

（潜台词：与常数变易法一个形式，同样道理。）

 

由此还产生了一类可作为考研“坡度题”的微分方程题目 ——

“设有二阶变系数齐次线性微分方程     y″+ p（x） y′+ q （x）y  = 0    ，已知它有一个非零的解函数 y = u（x），求它的通解。”

实际上，只需再求一个与y = u（x）线性无关的解函数。与上述问题一样，设之为   y = v (x) u(x)

应用“方程的解概念”，带入原方程，必定得未知函数 v（x）所满足的微分方程。且实质上是个可降为一阶的微分方程。

 

计算3 ——求二阶常系数线性微分方程  y″+ p y′+  q y  =  f（x）的特解

最基本最常用的是，f（x）=  n次多项式P（x）•exp（λ x）

令微分方程有特解  y*（x）= m次多项式 Q（x）•exp（λ x）

（潜台词：与计算2中所设的解函数类似。）

带入原方程，消去指数函数，转换为两个多项式恒等，即

Q″(x) + (2 λ + p ) Q′(x) + (λ² + p λ + q) Q（x）= P（x）

 

多项式恒等，各次幂相应数相等，λ² + p λ + q  ≠ 0，即λ不是特征根时，取次数m = n，记为Q n（x），共有n+1个待定系数，恰好n+1个方程。

λ是单特征根时，取 y*（x）= x Q n（x）•exp（λ x）

λ是重特征根时，取 y*（x）= x² Q n（x）•exp（λ x）

 

熟悉三个计算，掌握了新技术，线性微分方程再无难。

如果不熟习“方程的解概念”， 如果只会背“一阶线性微分方程通解公式”，热衷于历史沉渣“算子法”，那就一点不入门。遇上“擦边题”束手无策。