极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。

很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”

近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”

国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。

极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是x →x₀ ；一类是x →∞，

“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？”如果是，则称数a为函数的极限。

 “无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。

学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。

自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。

自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；

回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，

x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。

x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。

x →0⁺ 时，对数函数lnx趋于 －∞ ；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。

x →∞ 时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y = sinx的图形是典型的波动。

我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x = 0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在 +1与－1之间上下波动140多次。在x = 0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是 “电子云”。

当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。

x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。

更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。

考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。

多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是

“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限 ，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x₀，当∣x∣＞x₀时，) 总有f（x）＞0 ”

*“若x趋于x₀时，相应函数值f（x）有正的极限 ，则在x₀的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”

这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。

除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。

若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x₀，当∣x∣＞x₀时，) 函数的绝对值恒小于1

若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，(  你不仿设定一点x₀ ，  当∣x∣＞x₀时，) 函数的绝对值全大于1

*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1

（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1 ）

没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。    你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x₀，或充分小的数δ＞0，并利用它们。