定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。

即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。

1． 海涅定理

观察x 趋于x₀的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.₀ ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：

定理（1） 极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x₀ ，相应的函数值总有相同的极限A存在。

这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x 逼近 x₀ 的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：

“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。”

唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。

2．用左右极限来描述的等价条件

用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：

定理（2） 极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。

这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为

函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。

函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。

由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。

（3）突出极限值的等价条件

考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：

定理（3） 函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。

从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0

如果记α = f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：

f（x）= A + α（无穷小）

 

考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我 用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。

例1   x 趋于0时，函数 exp（1/x）不存在极限。

分析  在原点x = 0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以

x 从左侧趋于 0 时，指数 1/x 始终是负数，故左极限  f（0－0）= 0 ，

x 从右侧趋于 0 时，函数趋向 +∞ ，   

 由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x 趋于0 时，exp（1/x）是无穷大

但是，在这种情形下，函数图形在点x = 0有竖直渐近线 x = 0

例2   x 趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。

分析  用海涅定理证明其等价问题，“x 趋于+∞ 时，sinx 不存在极限。”

分别取 x = nπ及 x = 2nπ两个数列，n 趋于+∞时，它们都趋于 +∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1））。故sinx不存在极限。

例3   x 趋于 ∞ 时，函数 y = arctgx 不存在极限。

分析  把 ∞ 视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得，

x 趋于 +∞ 时，函数极限为π/2 ，x 趋于 －∞ 时，函数极限为  －π/2 ，

故，函数y = arctgx不存在极限。

请注意，证明过程表明，函数 y = arctgx 的图形有两条水平渐近线。即

－∞方向有水平渐近线  y = －π/2 ； +∞方向则有  有y =π/2

例4  当x → 1时， 函数 f (x) = (exp (1/(x－1)) )( x平方－1)∕(x－1) 的极限

（A）等于2   （B）等于0    （C）为 ∞   （D）不存在但不为 ∞   

    

分析   考查 x → 1 时函数的极限 ，通常认为 x 不取 1 ；而 x≠1 时，可以约去分母（x－1)，让函数的表达式化为  f (x) = (x+1)exp (1/(x－1))

左极限f（1－0）= 0 ，x从右侧趋于1时，函数趋向 +∞ ，         （选（D））

 

（画外音：多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。）

例5    f（x）=（2 + exp（1/x））∕（1+ exp（4/x））+  sinx ∕∣x∣ ,  求x趋于0时函数的极限。

分析  绝对值函数y = | x | 是典型的分段函数。x = 0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。实际上

x → 0- 时， lim  f（x）=（2+0）/（1+ 0）－1 = 1

x → 0+ 时， exp（1/x）→ +∞ ，前项的分子分母同除以 exp（4/x）再取极限

lim  f（x）=（0+0）/（0+1）+1 = 1

由定理（2）得  x → 0 时 ， lim  f（x）= 1

例6   曲线  y = exp(1/x平方) arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的渐近线共有

（A）1条． （B）2条。 （C）3条。 （D）4条。              选 （B） 

分析  先观察x趋于 ∞ 时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即 0，1 和－2；对于每个零点 x₀ ，直线 x = x₀ 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有

 

 x →∞ 时，lim y =π/4 ，         曲线有水平渐近线 y =π/4

其中，  x →∞ 时， lim exp(1/x平方) = 1

                       lim（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））= 1   （分子分母同除以“x平方”）

 

考查 “嫌疑点” 1和 －2时，注意运用“典型不存在3”，

f（1－0）= －eπ/2  ； f（1+0）= eπ/2 ，   x = 1 不是曲线的竖直渐近线。

类似可以算得  x = －2不是曲线的竖直渐近线。

x → 0 时，前因式趋向+∞；后因式有极限 arctg（－1/2），x = 0 是曲线的竖直渐近线。

 

啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗？

 

*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：

定理（4）夹逼定理 —— 若在点 x₀ 邻近（或 | x |充分大时）恒有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x)   ，且 x →x ₀  ( 或x →∞) 时lim g (x) = lim h (x) = A      则必有       lim f (x) = A

定理（5） 单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）

加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。