微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。

1. 概念

在某一过程中，函数 f（x）的极限为 0 ，就称 f（x）（这一过程中）为无穷小。

为了回避ε–δ语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。

无穷小是个变量，不是 0 ； y = 0 视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。但这是平凡的，没有一点意义。通常被排除在讨论之外。

依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。比如

x 从右侧趋于0时，lim lnx = －∞ ；x 从左侧趋于π/2 时，lim tgx = +∞

(潜台词：仅仅表明它其绝对值有无限增大的趋势，并不表示极限存在。)

无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。

y = tgx（在x →π/2左側时）是无穷大。在（0，π/2）内 y = tgx 是无界变量

x 趋于 0 时，函数 y =（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。

不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E ；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E 。

2. 运算与比较

有限个无穷小量的线性组合是无穷小 ；“∞－∞”则结果不确定。

乘积的极限有三类可以确定：

有界变量·无穷小 = 无穷小      无穷小·无穷小 = （高阶）无穷小

无穷大·无穷大 = （高阶）无穷大

其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。

例10   作数列x = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -

              y =  0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -

两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。这表示可能会有  无界·无界 = 有界

 

两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为 0 ，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。

无穷大有类似的比较。

无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。

x  趋于 0 时，α = xsin（1/x）和  β = x   都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但是，它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。

回到基本初等函数，我们看到

x 趋于 +∞ 时，y = x 的μ次方，指数 μ＞0 的幂函数都是无穷大。且习惯地称为 μ阶无穷大。

（潜台词：这多象汽车的1档，2档，--- 啊。）

x 趋于 +∞ 时，底数大于 1 的指数函数都是无穷大；底数小于 1 的都是无穷小。

x 趋于 +∞ 或 x 趋于0+ 时，对数函数是无穷大。

x 趋于 ∞ 时，sinx 及 cosx 都没有极限。正弦，余弦，反三角函数都是有界变量。

 

请体验一个很重要也很有趣的事实。

（1） x → +∞ 时，  lim （x的n次方）∕exp（x）= 0 ， 这表明：

“x 趋于 +∞ 时，指数函数 exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

或者说，“x 趋于 +∞ 时，函数 exp（－x）是任意高阶的无穷小。”

（2） x → +∞ 时，  lim ln x∕（x的δ次方）= 0； δ是任意取定的一个很小的正数。这表明： “对数函数 lnx 是比 x 的δ次方都还要低阶的无穷大。”

在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”； 称 exp（－x）为“速降函数”。

只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。

 

例11  函数 f (x) = xsinx （A）当x →∞ 时为无穷大。（B）在（－∞，+∞）内有界。

（       C）在（－∞，+∞）内无界。（D）在 x→∞ 时有有限极限。  

分析   这和 y =（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。      （选（C））

 

例12  设有数列 Xn，具体取值为

                     若n为奇数，Xn =（n平方 + √n ）∕n ；若n为偶数，Xn = 1∕n

则当 n → ∞ 时，Xn 是（A）无穷大量 （B）无穷小量  （C）有界变量  （D）无界变量    

 

分析  一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D））

请与“典型不存在1”对比。本质相同。

例13  已知数列 Xn 和 Yn 满足 n → ∞ 时，lim Xn Yn = 0 ，则

（A）若数列 Xn 发散，数列 Yn  必定也发散。

（B）若数列 Xn 无界，数列 Yn  必定也无界。

（C）若数列 Xn 有界，数列 Yn 必定也有界。

（D）若变量 1∕Xn 为无穷小量，则变量 Yn 必定也是无穷小量。

分析  尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要 Yn 是适当高阶的无穷小，就可以保证 lim Xn Yn = 0

无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明 Xn 为无穷大。要保证 lim Xn Yn = 0 ，Yn  必须为无穷小量。应选答案（D）。