微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。

大学数学还让学生学习两类“分段函数”。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。

微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。

1．函数的连续性

定义 ——  设函数 f (x) 在点 x0 的邻近有定义。当 x 趋于 x0  时，如果函数有极限，  且极限值等于函数值 f (x0)，就称函数 f 在点 x0 连续。否则，称函数 f 在点 x0 间断。x0 是它的间断点。

“函数 f 在点 x0 的邻近有定义”意味着，如果函数在点 x0 没有定义，那 x0 只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。y = 1/x在原点就是这样的。

“有极限” 意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。”

函数在一点连续的定义等式，“左极限 = 右极限 = 中心点函数值”，最多可以得出两个方程。如果在这里出题：“用连续定义求参数值。”则函数可以含一个或两个参数。

如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。

最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。

“有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。

介值定理——如果数 c 能被夹在连续函数的两个值之间，则 c 一定属于此函数的值域。

请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。

介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程F(x)=0的根，可以转化为讨论函数F的零点。

例16   试证明，如果函数 f 在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。

分析  函数f在闭区间上连续，f 必有最大值 M = f（x1），最小值 m =  f（x2），闭区间 [m ，M] 内的任一数c ，自然就夹在 f 的两个最值之间，因而属于 f 的值域。即 f 的值域就是这个闭区间。

例17   试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。

（潜台词：没有零点的连续函数定号。）

分析   如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。

（潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）

例18   函数f在闭区间 [a，b]上连续，其值域恰好也是 [a，b]，试证方程 f (x) = x 在区间 [a，b]上有解。

分析  作 F = f (x)－x ，它显然在已知闭区间上连续。且有 F(a)≥0 而  F(b)≤0

    如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。

（潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）

2． 间断点分类

连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。

若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。

若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。

第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。

对于第二类间断，我们只学了两个特例。即

x = 0 是震荡因子 y = sin（1/x) 的震荡间断点。（ 画外音：请联想“典型不存在（2）”）

 

x = 0 是函数 y = exp(1/x) 的无穷间断点。   （ 画外音：请联想“典型不存在（1）”）

 

只要函数在 x0 的一个单側为无穷大，x0 就是函数的无穷间断点。x = x0  是图形的竖直渐近线。

考题中经常把问题平移到别的点去讨论。

例 19   确定 y = exp(1/x) arctg（（x+1）/（x－1））的间断点，并说明其类型。

分析  函数的解析表达式中，分母有零点 0，1         （潜台词：两个嫌疑犯啊。）

在点 0 ，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零， 故 0 点是无穷间断点.

在点 1 ，前因子连续非零，后因子的左极限是 －π/2，右极限为π/2，第一类间断。

三个特殊的“不存在”记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。

例20  设函数 f (x) = x∕(a + exp(bx))在(－∞, －∞)内连续，且 x → －∞ 时，极限  lim f (x) = 0 ；

 

则常数 a ，b 满足（A）a < 0，b < 0  （B）a > 0，b > 0  （C）a≤0，b > 0  （D）a≥0，b < 0

分析  初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。

已知函数连续，则其分母不能为 0，而指数函数exp(bx) 的值域为(0, +∞)，故 a≥ 0

又，x → －∞ 时，极限  lim f (x) = 0 表明， f (x) 分母是较分子x高阶的无穷大，即要指数函数exp(bx )为无穷大，只有 b < 0，应选（D）。

（画外音：一个4分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！）

*例21  已知函数f (x)在区间 [a，b]上处处有定义，且单调。若f (x)有间断点，则只能是第一类间断点。

分析  （构造法） 不仿设f (x)在区间 [a，b]上单增，但是有间断点x0 ；我们得证明f在点x0的左右极限都存在。

已设f在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有

x → x0－ 时，f单增，显然 f (b) 是它的一个上界。故左极限存在。

x → x0+  时，自变量从右向左变化，相应的f值单减。显然 f (a) 是其一个下界。右极限也存在。

构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。