《线性代数》的“地基”是，行列式基础知识，向量基础知识，矩阵基础知识。全都需要用“集合”语言来描述。

数学所说的集合，隐含集合中的“元素”有一定的共性特征。

n 维向量集合由全体 n 元有序数组（a₁，a₂，-----，a _n）组成；m×n 阶矩阵是 mn 个元所排成的矩形阵列。这两个集合上都定义了“数乘”与“加法”运算。对于 n 阶行列式，它也有两条性质相应于“数乘”与“加法”。

集合上的运算在观念上要比四则运算高一个层次。集合上的“运算”本质上是人为规定的特殊运算或特殊对应规律。            

“数乘”与“加法”合称为线性运算。由于有负数，因而“加法”实际上包含了通常的减法。数学工作者在讨论一般集合时，往往都希望能在集合中定义线性运算。

集合中的若干个元素既作数乘又作加法，称为这些元素作“线性组合”。

学到这个地步，要学会体验数学式的双重含义。一个线性组合式，它既表示相应的运算过程，又代表整个运算的结果。说“向量的线性组合”，有时就指的是运算结果所得到的向量。还比如：

有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。 （“线性组合”表示运算结果）

有限个连续函数的线性组合连续。       有限个可导函数的线性组合可导。

- - - - - - - - -             - - - - - - - - -

（画外音：不要随口说啊。无穷大的线性组合不一定是无穷大。“∞－∞”是未定式。）

如果两个变量成正比例，我们就说这两个变量有线性关系。

在《解析几何》中，我们研究只有方向与模长的“自由向量”。 三维（真实）空间里，两个向量α ，β或者平行，对应分量成比例，α = λβ，即两个向量有线性关系。或者彼此不平行。（但必然都平行于同一平面。）这时，我们说两个向量没有线性关系。同样地，讨论一组两个或多个 n 维向量，我们自然要先考虑它们之间是否存在某种线性关系。即

“是否有一个向量可以表示为组内其它向量的线性组合。”

或 “是否有一个向量可以被组内其它向量线性表示。”

如果是，就称这组向量线性相关。否则，称向量组线性无关。

作为数学定义，数学家们总希望其内含更丰富，不愿意突出某一个向量。于是有：

定义    若有一组不全为零的数  c₁，c₂，---，c _k ，使得 c₁a₁+ c₂a ₂+ ---+ c _k a _k = 0 ，就称向量组a₁，a ₂ ，---，a _k 线性相关。否则，称向量组线性无关。

（潜台词：谁的系数不为零，谁就可以被组内其它向量线性表示。）

这个定义的内含实在是丰富多彩。

理解（1） 含“零向量”的向量组一定线性相关。——“零向量”的系数取1，其它向量的系数取0 ，就满足定义。（构造法！）

理解（2）  “部分相关，全组相关。”—— 比如组内有两个向量平行

不仿设 a₁= ca ₂ ，即 a₁－ ca ₂ = 0，其它向量的系数取 0 ，就满足定义。（构造法！）

这个结论有个伴生结论：“全组无关，部分无关。”

理解（3）在一个向量组内，向量之间可能存在很多个线性关系。要判断其线性相关性，只需要找到一个线性关系。

理解（4） 系数为零的向量，实际上并没有参与该线性关系。

例1  如果向量β可以由向量组 a₁，a ₂ ，- - -，a _k 线性表示，则

（A）存在一组不全为零的数 c₁，c₂，- - -，c _k，使得 β= c₁a₁+ c₂a ₂+ - - -+ c _k a _k  

（B）对β的线性表示式一定不唯一。                  （C）向量组 β，a₁，a ₂ ，- - -，a _k线性相关。

（D） 组内任意一个向量，一定也可以由β及组内其它向量线性表示。

分析   已知β与 a₁，- - -，a _k 间存在线性关系，故（C）对。

如果β是零向量，而 a₁，- - -，a _k  线性无关，则（A）不成立。

如果 a₁，- - -，a _k 线性无关，则对β的线性表示唯一。（B）错。

谁的系数不为零，谁才可以被β及组内其它向量线性表示。故（D）错。

理解（5） 如何用定义来具体描述及证明向量组线性无关呢？

“不存在一组不全为零的数 c₁，c₂，- - -，c _k ，使得 c₁a₁+ c₂a ₂+ - - -+ c _k a _k = 0 ”

“对任何一组不全为零的数 c₁，c₂，- - -，c _k ，总有 c₁a₁+ c₂a ₂+ - - -+ c _k a _k ≠ 0 ”

这两种否定性描述都对。但是不好用。我们选择：

“设有数组 c₁，c₂，- - -，c _k ，使得  c₁a₁+ c₂a ₂+ ---+ c _k a _k = 0 ，则只有 c₁ = c₂ = --- = c _k = 0，就表明向量组线性无关。”

这样一来，“证明向量组线性无关”就程序化了。遇上证明线性无关的题，你先写“设有一组数 - - - ，使得 - - - ，”再具体证明“只有 - - - ”。

例2   若向量组 α₁ ,α₂ 线性无关，而α₁ ,α₂ ,β 线性相关，α₁ ,α₂ ,γ线性无关，则向量组α₁ ,α₂ ,β+γ线性无关。

证明  已知α₁ ,α₂ ,β 线性相关，即有不全为零的数组使 k₁α₁ + k ₂α₂ + k ₃β= 0 ，又已知α₁ ,α₂ 线性无关，必有 k₃ ≠ 0 ，向量β可以由 α₁ ,α₂ 线性表示。否则，系数全都为 0 ，矛盾。

设有数组 c₁，c₂，c₃，使得  c₁α₁ + c₂α₂ + c₃（β+γ）= 0

（潜台词：要证向量组线性无关，请证明三系数皆为0）

如果 c₃ = 0，同理，只有 c₁ = c₂ = 0 ，结论得证。

如果 c₃ ≠ 0，则向量 β+γ 可以被 α₁ ,α₂ 线性表示。已证明 β 可以由α₁ ,α₂ 线性表示，从而γ也可以被 α₁ ,α₂ 线性表示。这与已知矛盾。只有 c₃ = 0

例3  已知向量 α₁ ≠0 ，向量组 a₁，a ₂ ，- - - ，a _k中的每一个向量，都不能由排在它前面的那些向量线性表示。试证此向量组线性无关。

证明  设有一组数 c₁，c₂，- - -，c _k ，使得 c₁a₁+ c₂a ₂+ - - - + c _k a _k = 0

如果有某个系数非零，（反证法），我们可以从右向左看。设第一个不为 0 的系数是c _r ，则向量 a _r 就能由排在它前面的那些向量线性表示。矛盾。只有c₁ = c₂ = - - - = c _k = 0 ，向量组线性无关。

有一个重要的定理可以和线性相关的定义放在一起学习。

定理   已知一个n维向量组线性无关，如果在相同的位置给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。

为了好记，我把这个结论称为“线性无关，延长无关。”

比如，三维向量组（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）显然线性无关。依据本定理，四维向量组（1，0，0，a），（1，0，0，b），（1，0，0，c）一定线性无关。

在实际工作中，要分析某个目标变量与我们认定的若干个因素变量之间的关系，以便对目标变量实施预测。通常也首先猜想那是一个“多元线性模型”，然后依据历史记录的各变量数据，用最小二乘法回归出各个系数，再用概率方法作显著性分析。