矩阵的“秩”是《线性代数》第一模块(线性方程组)的核心概念。矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”，用向量工具更为方便。所以先要学习向量组的的秩。

1．向量组的最大无关组与秩

讨论向量组的线性相关性，其应用背景是，

“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”

因而我们相应最关心的是，

“一个向量组中，最多有几个向量能线性无关，即相互独立。”

如果一个向量组的子组线性无关。且把组内别的任何一个向量添加进去，得到的新子组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。

一个向量组可能有好些个最大无关组。但是，最大无关组中含有的向量个数必定相同。（由后述“基本定理”保证。）称为向量组的“秩”。

对向量组而言，最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候，你就把它设出来。

例7    向量组增加一个（或一些）向量而秩不变，则新增的那个（些）向量可以被原组向量线性表示。

分析  实际上  因为新组包含旧组，且，新组的秩 = 旧组的秩，故旧组的最大无关组也是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。

其它向量都给以零系数加上去，则新增的向量被原组向量线性表示。

最大无关组的基本作用是，它可以将组内每一个向量唯一地线性表示。*如果给它一个排列顺序，就能使组内的向量与“有序（系）数组”成一一对应，这就自然生成了集合内的“坐标”。

有趣的是，最大无关组如何唯一地线性表示自身内部的任一向量呢？当然只能是自己的系数 1 ，其它的系数为 0 ；因为它们之间不存在任何线性关系。

（*潜台词：任何一个最大无关组，作为“坐标基“，它自身的“坐标”总是“单位向量组” ：

（1，0，…… ，0），（0，1，…… ，0），……，（0，0，…… ，1）      ）

*例8   向量组的一个子组是其最大无关组的充分必要条件是，组内每一个向量都可以由这个子组唯一地线性表示

分析  只需证明条件的充分性。

设向量组内每一个向量都可以由一个子组唯一地线性表示。

这个子组不可能有零向量。否则，零向量的系数随意，线性表示式不可能唯一。

如果这个子组线性相关，则其中至少有一个向量β可以被子组内其它向量线性表示。加上0β项,，得到β被子组全体向量线性表示。

但是，取β的系数为 1 ，其它向量的系数都为 0 ，可以得到β被子组全体向量线性表示的另一个式子。矛盾。 （反证法结合构造法。）

一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，如果一个向量组共有 k 个向量，又已知其中的 k－1 个向量线性无关。则向量组的秩为 k－1 ；该无关组就是它的最大无关组。

例9   已知向量组 α₁ ,α₂ , α₃ 线性相关；向量组 α₂ ,α₃ , α₄ 线性无关。试问

（1）向量 α₁ 能否由 α₂ , α₃ 线性表示？

（2）向量 α₄ 能否由 α₁ ,α₂ , α₃ 线性表示？

分析   （1）已知向量组 α₁ ,α₂ , α₃ 线性相关；向量组 α₂ ,α₃ , α₄ 线性无关，所以，α₂ ,α₃线性无关，且正好是 α₁ ,α₂ , α₃ 的一个最大无关组。α₁可以由 α₂ , α₃ 线性表示。（且唯一地线性表示。）

（2）如果 α₄ 能由 α₁ ,α₂ , α₃ 线性表示，则由（1）的结论，（潜台词：把α₁的线性表示式代入。） α₄ 就能由 α₂ , α₃ 线性表示，这和已知 α₂ ,α₃ , α₄ 线性无关矛盾。

 

2．向量基本定理

定理   如果甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，则

甲向量组的秩 R（甲）≤ 乙向量组的秩 R（乙）

教材内一般都不会证明这个定理。学习这个定理，首先要熟练它的语言。

显然，如果甲向量组的每一个向量可以由乙向量组线性表示，而 甲组向量个数 ＞ 乙组向量个数，则甲向量组必定线性相关。

实际上，唯一的信息链是：

秩R（甲）≤ 秩 R（乙）≤ 乙组向量个数 ＜ 甲组向量个数

n+1 个 n 维向量必定线性相关，是因为它们可以由前述单位向量组线性表示。

如果两个向量组能相互线性表示。则它们的秩相等。称为等价向量组。显然，向量集合的最大无关组是两两等价的。

例10   如果把两个向量组合并为一个组，则“合并组”的秩不超过各组秩的和。

分析   两个向量组各取一个最大无关组，合并到一起，为了说话方便，称为“小合并组”。显然，“合并组” 每一个向量都可以被“小合并组”线性表示。但是两个线性无关组合并后不一定能全组线性无关。故

“合并组”的秩 ≤“小合并组” 的秩 ≤ 原两个向量组秩的和

问题本身都不算难。难就难在描述向量的语言。

考研数学卷常常会有题目：“已知两个含参数的向量组等价，试确定参数值。”那就求向量组的秩，利用秩相等来判断或建立方程。

如果是“试讨论参数为何值时，两个向量组等价或不等价。”难度就高了很多。因为秩相等的两个向量组不一定等价。我们也难以按定义判定等价性。这时候，题上所给的向量组可能都是三个三维向量的组。如果线性无关，则三维空间的两个最大无关组等价。

 

*3．向量空间

有的《线性代数》教材上写了一章“线性空间”。非数学专业的学生很难适应那样的理论抽象及其讨论方式。我们不仿将讨论范围限定在 n 维向量内，就可以简明地说：

“如果一个 n 维向量集合对于线性运算是封闭的。即集合中任意有限个向量的线性组合仍然是集合中的向量，就称这个集合为向量空间。

如果一个 n 维向量集合的秩为 k ，又成功向量空间，就称其为 k 维向量空间。”

全体 n 维向量组成的集合叫 n 维向量空间。

三维空间中，“平行于某一已知平面的全体向量组成的集合”显然也是一个向量空间。是三维向量空间的一个二维子空间。

n个未知量m个方程的齐次线性方程组如果有一个非零的解向量β，则对任意实数 c ，向量 cβ也是该方程组的解向量。进一步还可以验证，齐次线性方程组的任意有限个解向量的线性组合也是该方程组的解向量。

（画外音：是不是解向量，代入齐次线性方程组去验算一下嘛。）

这就是说，齐次线性方程组如果有一个非零的解向量，它就有无穷多个解向量。一个齐次线性方程组的全体解向量是 n 维向量空间的子集合，但它对于线性运算也是封闭的。因而也可以获得“向量空间”的称号。叫齐次线性方程组的解空间。

不要害怕，知道向量集合满足一个运算性质，就给它一个特殊称呼。如此而已！