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在考研试题中,条件“f(x)连续,x 趋于0 时,lim (f(x)/x) = 1”出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢?
无论是《高数》,《线代》或《概率》部分,都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟,在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段,也是应对考试的方法。
1 条件“f(x)连续,x 趋于0 时,lim (f(x)/x) = 1”推理 ——→
信息(1),自变量 x ,当然是 x 趋于0 时的无穷小。分母是无穷小,商的极限为 1(存在),则分子也必定是无穷小。即 x趋于0 时,lim f(x)= 0
(潜台词:由极限存在的充分必要条件(3),f(x)/x = 1 + α(无穷小),即 ,f(x)= x(1 + α))
信息(2),已知f 连续,故 f(0)= lim f(x)= 0
信息(3),(潜台词:这是“双特殊情形”啊!) 已知极限表明函数f(x)与自变量是等价无穷小。f(x)在原点可导,且导数值 f ′(0) = 1
信息(4),(“符号体念,近朱者赤。”) 商的极限为正数 1 ,在 0 点 的一个适当小的去心邻域内,商的符号恒正。分子与分母同号。即 f(x)与 x 同号,左负右正。
最后一条没有进一步的结论,但这是体验极限符号的思维素养。
对比:如果把条件中的分母换成“x2”,则后两条信息就不同了。
信息(3)*, 函数是比自变量高价的无穷小。f(x)在原点可导,且导数值为 0
信息(4)*, 商的极限为正数 1 ,在点 0 的一个适当小的去心邻域内,商的符号恒正。分子与分母同号。x 的平方恒正,f(x)恒正。f(0)是函数的极小值。
再对比:若考题把条件中的分子换成 f(x)-x ,怎么办?
那你把分子整体看成一个函数,写成 F(x)= f(x)-x ,先对 F 写出结论,再写还原讨论 f(x)。
比如信息(3)得,F(x)在原点可导,故 f(x)= F(x)+ x 也在原点可导。……。
有了高速路,找到匝道就上去了。
例36 已知 x →1 时,lim (x2 + bx + c)∕(x-1) = 3 ,求常数 b ,c 的值。
分析 平移到点 x =1 用基本推理。记 f(x)= x2 + bx + c ,f 连续,由已知极限得
x →1 时,lim f(x)= 0 = f(1),实际计算 f(1)得方程 1+ b + c = 0
再由已知极限与极限定义得 f ′(1) = 3 ,实际求导即 2 + b =3 ;联解之, b = 1 c = -2
2.程序化的经典题目
在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题,其基本模式为:
“求(分段)函数f (x)的导函数,并讨论导函数的连续性。”
这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限 与求导计算 。考查内容相当全面 。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数;用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。
例37 设a为实常数,定义函数f(x)如下
x > 0时 f (x) = xasin(1/x2) , x ≤ 0时,f (x)=0
回答下列问题,并简单说明理由。
(1)在什么情况下,f (x) 不是连续函数。 (2)在什么情况下,f (x) 连续但在点 x = 0 不可微 ?
(3)在什么情况下,f (x) 有连续的导函数 f ′(x) ?
*(4)在什么情况下,f (x) 可微 但 f ′(x) 在原点邻近无界?
*(5)在什么情况下,f (x) 可微,f ′(x) 在原点邻近有界,但 f ′(x)不连续?
分析 x ≤ 0 时,f (x) 恒为零,故 f (x) 在 0 点左连续,且左导数为 0 ;讨论的关键在于:
sin(1/x2),cos(1/x2)都是震荡因子。当 x → 0+ 时, 必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。
(潜台词:有界变量·无穷小量 = 无穷小量)
解 (1)a ≤ 0 时 ,f (x) 不是连续函数,它在点 x = 0 处有第二类间断(振荡间断)。
(2)0 < a ≤1 时, f (x) 连续但在 x = 0 处不可导。实际上
x→0+ 时,lim (f(x)/x) = lim x(a-1)sin(1/x2)不存在
这又表明,仅当 a > 1时,f (x) 在 0 点的右导数为 0 ,从而 f ′(0) = 0;反之则右导数不存在。
于是,a > 1时,f (x)是可导函数。且f ′(x)有 分段表达式:
x≤0 时,f ′(x) = 0 ;x>0 时,f ′(x) =ax(a-1)sin(1/x2)-2 x(a-3)cos(1/x2)
(3) 仅当 a > 3 时,f ′(x)的两项在0点的右极限都存在,且都为 0 ;f ′(x)连续。
(潜台词:存在 + 不存在 = 不存在 ;1<a≤3 时,f ′(x)不连续。有振荡间断点0。)
*(4) 观察 f ′(x)的结构,当 1<a≤3 时,它之所以会在原点邻近无界,显然是因为其后项存在有负幂因子。即 1<a<3 时,f ′(x) 在原点邻近无界。
(5)最后,自然有 a = 3 时, f ′(x) 在原点邻近有界,但 f ′(x) 不连续。
分析法,综合法,反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写,实实在在地看,实实在在地说,水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——“构造法”。
再看一例来体念“实实在在”的“构造法”。
例 38 已知函数 f(x)在 x≥a 时连续,且当 x → +∞ 时 f(x)有极限 A ,试证明此函数有界。
分析 (1)用综合法走一步:本题即证,∣f(x)∣≤ C
(2)想用分析法走一步,有困难。我们只学过,闭区间上连续的函数一定有界。(?!)
(3)(试探)随便选一个充分大的数b ,函数在a 与 b 组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢?
(4)需要从数值上体念已知极限:
x → +∞ 时函数有极限A ,即 x → +∞ 时函数的绝对值无限靠近数 A 的绝对值。
这就是说,我们可以取到充分大的数b,使 x>b 时,恒有 ∣f(x)∣≤∣ A∣ + 1
(5)a与b组成的闭区间上函数有最大,最小值。取其绝对值。三个正数相比较,最大的那个数就是我们需要的 C
啊,我们“构造”出了函数的一个上界。
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