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日志

考研数学讲座(9)“基本推理”先记熟

热度 18已有 3429 次阅读2010-3-4 09:48 |个人分类:学习经验|

在考研试题中,条件“fx)连续,x 趋于0 时,lim (fx/x) = 1”出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢?

无论是《高数》,《线代》或《概率》部分,都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟,在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段,也是应对考试的方法。

1   条件“fx)连续,x 趋于0 时,lim (fx/x) = 1”推理 ——

信息(1,自变量 x ,当然是 x 趋于0 时的无穷小。分母是无穷小,商的极限为 1(存在),则分子也必定是无穷小。即 x趋于0 时,lim fx= 0

(潜台词:由极限存在的充分必要条件(3),fx/x = 1 + α(无穷小),即 fx)= x(1 + α)

信息(2,已知f 连续,故 f0= lim fx= 0

信息(3,(潜台词:这是“双特殊情形”啊!)     已知极限表明函数fx)与自变量是等价无穷小。fx)在原点可导,且导数值 f (0) = 1

信息(4(“符号体念,近朱者赤。”) 商的极限为正数 1 ,在 0 的一个适当小的去心邻域内,商的符号恒正。分子与分母同号。即 fx)与 x 同号,左负右正。

最后一条没有进一步的结论,但这是体验极限符号的思维素养。

对比:如果把条件中的分母换成“x2”,则后两条信息就不同了。

信息(3*, 函数是比自变量高价的无穷小。fx)在原点可导,且导数值为 0

信息(4*, 商的极限为正数 1 ,在点 0 的一个适当小的去心邻域内,商的符号恒正。分子与分母同号。x 的平方恒正,fx)恒正。f0)是函数的极小值。

再对比:若考题把条件中的分子换成 fx)-x ,怎么办?

那你把分子整体看成一个函数,写成 Fx)= fx)-x ,先对 F 写出结论,再写还原讨论 fx)。

比如信息(3得,Fx)在原点可导,故 fx= Fx+ x  也在原点可导。……。

有了高速路,找到匝道就上去了。

36    已知 x 1 时,lim (x2 + bx + c)(x1) = 3 ,求常数 b c 的值。

 

分析    平移到点 x =1 用基本推理。记  fx= x2 + bx + c f 连续,由已知极限得

 

x 1 时,lim fx= 0 = f1),实际计算 f1)得方程  1+ b + c = 0

再由已知极限与极限定义得   f (1) = 3 ,实际求导即      2 + b =3  ;联解之,  b = 1    c = 2

2程序化的经典题目

在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题,其基本模式为:

求(分段)函数f (x)的导函数,并讨论导函数的连续性。

这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限 与求导计算 。考查内容相当全面 。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数;用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。

37  a为实常数,定义函数f(x)如下

x 0f (x) = xasin(1/x2) , x 0时,f (x)=0

回答下列问题,并简单说明理由。

 (1)在什么情况下,f (x) 不是连续函数。         2)在什么情况下,f (x) 连续但在点 x = 0 不可微 ?

 (3)在什么情况下,f (x) 有连续的导函数 f (x)

  *4)在什么情况下,f (x) 可微 但 f (x) 在原点邻近无界?

     *5)在什么情况下,f (x) 可微,f (x) 在原点邻近有界,但 f (x)不连续?

分析  x 0 时,f (x) 恒为零,故 f (x) 0 点左连续,且左导数为 0 ;讨论的关键在于:

sin1/x2),cos1/x2)都是震荡因子。当 x 0+ 时, 必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。 

(潜台词:有界变量·无穷小量 = 无穷小量)

  1a 0 时 ,f (x) 不是连续函数,它在点 x = 0 处有第二类间断(振荡间断)。

   20 < a 1 时, f (x) 连续但在 x = 0 处不可导。实际上

x0+ 时,lim (fx/x) = lim xa1sin1/x2)不存在

    这又表明,仅当 a > 1时,f (x) 0 点的右导数为 0 ,从而 f (0) = 0反之则右导数不存在。

于是,a > 1时,f (x)是可导函数。且f (x) 分段表达式:

   x0 时,f (x) = 0  x0 时,f (x) =axa1sin1/x22 xa3cos1/x2

 

3 仅当 a > 3 时,f (x)的两项在0点的右极限都存在,且都为 0 f (x)连续。

(潜台词:存在 + 不存在 = 不存在 1a3 时,f (x)不连续。有振荡间断点0。)

*4) 观察 f (x)的结构,当 1a3 时,它之所以会在原点邻近界,显然是因为其后项存在有负幂因子。即 1a3 时,f (x) 在原点邻近界。

 (5)最后,自然有   a = 3 时, f (x) 在原点邻近有界,但 f (x) 不连续。

 

分析法,综合法,反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写,实实在在地看,实实在在地说,水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——“构造法”。

再看一例来体念“实实在在”的“构造法”。

38  已知函数 fx)在 xa 时连续,且当 x +∞ 时 fx有极限 A ,试证明此函数有界。

分析 1)用综合法走一步:本题即证,fx∣≤ C

2)想用分析法走一步,有困难。我们只学过,闭区间上连续的函数一定有界。(?!)

3)(试探)随便选一个充分大的数b ,函数在a b 组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢?

4)需要从数值上体念已知极限:

x +∞ 时函数有极限A ,即 x +∞ 时函数的绝对值无限靠近数 A 绝对值。

    这就是说,我们可以取到充分大的数b,使 xb 时,恒有 fx∣≤∣ A+ 1

5ab组成的闭区间上函数有最大,最小值。取其绝对值。三个正数相比较,最大的那个数就是我们需要的 C

 啊,我们“构造”出了函数的一个上界。

 

 

 

 

 

 

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发表评论 评论 (2 个评论)

回复 xiaokeke000 2011-8-25 17:50
   不错
回复 huidanglingj 2012-5-23 23:53
顶……

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