行列式是 n×n 个元素的一种规定算法。非数学专业的学生学习这一部分时，要重在结论与方法，不要太在意行列式定义及行列式性质证明等细节。

代数余子式与行列式展开定理是这部分的重点。

1. 代数余子式

n 阶行列式划去第 i 行第 j 列后得到的 n－1 阶行列式，称为其元素 a i j 的余子式。记为 Δi j   ；添加一个符号，又记 A i j = (－1)的(i+j)次方Δi j ，称为其元素 a i j 的代数余子式。

a i j 也有双重身份。既表示位于行列式第案i 行第 j 列交叉处的元素，又代表那个位置。

某一行（列）元数的代数余子式有下述两个特点：

（1） 它们的“外加符号” (－1)的(i+j)次方 是顺次交错的。

（2） 即便在行列式中将第i行元素划掉，它们的代数余子式的信息仍然还全部保留着。

 

2. 行列式展开定理

代数余子式的基本作用就是给n阶行列式一个展开式。

行列式展开定理  已知n阶行列式D，则对第i行，1 ≤ i ≤ n ，有

       a i1 A i1 + a i2 A i2 + … + a i n A i n = D

而   i≠j 时         a i1 A j1 + a i2 A j2 + … + a i n A j n = 0

鉴于逆向思维的困难，我有意把第一个公式的左右端对调。

从右向左，叫 n 阶行列式 D 按第 i 行展开。（拉普拉斯展开定理的特殊情形。）

从左向右，强调第 i 行与自己的代数余子式行向量作内积，恰是原行列式。

定理的后式表明，第 i 行向量与别的任一行的代数余子式行向量正交。

思考（1） 连续使用行列式展开定理，最终可以把n阶行列式表示为若干个3阶或2阶行列式的线性组合。

如果你能利用行列式的性质，（即把行列式的某行的k倍加到另一行，行列式的值不变。）先将n阶行列式D化为上（下）三角行列式，则D的值等于上（下）三角行列式主对角线上元素的连乘积。

思考（2） 已知n阶行列式D，问，线性组合  c1 A i1 + c2 A i2  + ------ + c n A i n  = ？

与行列式展开定理公式对比，这个线性合相当于用系数行 c1，c2，---，c n 代替了（或说，具体化了）D的第 i 行。逆向思维，它等于D的第i行换成此系数行而得到的新行列式 D i

例18   已知四阶行列式D 的第 3 行元数都是 2 ，则  A21 + A22  + A23 + A 24 = 0 , 为什么?

分析  A21 + A22  + A23 + A 24 等于将D的第 2 行元数全换为 1而得到的新行列式。显然，这个行列式的第2 行与第 3 行成比例。

例19   设A是个n 阶方阵。B是将A的第 1行划去而得到的（n－1）×n 阶矩阵。作齐次线性方程组 Bx = 0 ，你能用代数余子式概念，给出它的一个解吗？

分析   仅仅划去方阵A的第 1 行，那就还保留着|A|的第 1 行元素的代数余子式信息。

第 1 行元素的代数余子式组成的向量，与其它各行都正交。因而它就是方程组 Bx = 0 的一个解向量。

例20   设 n 阶行列式D 的第 1 行是 n 个可导函数，其它行的元都实数。则 D是这 n个可导函数的线性组合。为什么？

你能用行列式表示这个线性组合的导数吗？

分析   你能左右运用行列式展开定理，“展开”“回收”自由，这类题就只是个小游戏。

对D按第 1 行展开，每个代数余子式就是一个实数。展开式就是那 n个可导函数的线性组合。

线性组合的导数，是这 n 个函数的导数的线性组合。系数还是第1 行元素的代数余子式。逆向思维，导数的线性组合就是行列式D的第 1 行各函数，分别换成其导数后得到的 n 阶行列式。

（潜台词：自己写个三阶情形，好好想想。）

（3）格莱姆法则 _ 利用代数余子式，可以用消元法解有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组 Ax = b

如果 D =|A|≠0 ，则方程组有唯一的解

x =（D1 / D，------，Dn / D） ；D j 是将D 的第 j 列换为常数列 b 而得到的行列式。

格莱姆法则的证明过程，是运用代数余子式的“正交消元法”。值得一看。

由此推得：

n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零解的充分必要条件是 |A|≠0

n 个 n  维向量线性无关的充分必要条件是，它们排成的行列式不为 0

思考（4） 设如果  A 是 n  阶方阵，且|A| = 0 ，则由行列式展开定理知，A 的任一行元素的代数余子式，与A的每个行向量都正交。即

A的任一行元素的代数余子式，都是齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量。

遇到n个未知量n个方程的线性方程组的题目，要首先看看(3)与思考(4)能否用上。

 

3．n 阶方阵A的伴随阵A*

每个 n 阶方阵 A 相应有行列式|A|；|A|有 n×n 个代数余子式 ，它们按转置方式排成 n 阶方阵 A*，称为 A 的伴随阵。

由 A* 的构造设计得到“基本恒等式”   AA* =  A*A = |A|E

基本恒等式可以将格莱姆法则的证明过程大大简化。即 |A|≠ 0 时 ，有

Ax = b —→ A* Ax = A* b —→|A|x = A* b —→ x = A* b∕|A|

考研试题围绕代数余子式与 A* 形成一个考点。

例21  已知三阶方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式。且a 33 = －1，|A| = 1，若b =（0，0，1）ˊ，则

方程组Ax = b的解是

（A）（3，5，2）ˊ；（B）（1，2，3）ˊ；（C）（0，0，－1）ˊ；（D）（1，0，－1）ˊ

分析  由已知条件选第三列来展开 |A|，得到方程  a 13·a 13 + a 23·a 2 3 + a 33·a 3 3 = 1

因为 a 33·a 33 = 1，所以 a 13 = a 2 3 = 0 ；A的第三列为（0，0，－1）

Ax = b 是3 个未知量 3个方程的方程组。先用格莱姆法则试试求解。

已知|A|的第 3 列（0，0，－1）ˊ。若把|A|的第 1 或第 2 列分别换成

 b =（0，0，1）ˊ，就会有两列成比列，故D1 = D2 = 0 ，应选（C）。

 

4．矩阵的秩

从应用角度考虑，行向量组的秩表示齐次线性方程组中相互独立的方程个数。应该就是系数矩阵的秩。从研究矩阵出发，则要兼顾行与列。

定义 —— 矩阵A的不为零的子式的最高阶数r ，称为矩阵A的秩。记为 r (A)

理解(1)  已知矩阵A的为秩r → A至少有一个r阶子式不为0 →

 → 排成该子式的r个r维的行(或列)向量线性无关 →

→“线性无关，延长无关”。这些r维行(或列)向量所在的，矩阵A的r个行(或列)向量线性无关。→ 它们是A的行(或列)向量组的一个最大无关组。

（等价性原理（不证）—— 矩阵的秩，即是它的行(或列)向量组的秩。）

→ 齐次线性方程组 Ax = 0 相应的 r 个方程相互独立。

—→ 一个方程可以解出一个未知量。r 个相互独立的方程只能解出 r 个未知量。方程组的通解中必定含有  n－r个独立未知量。只能把它们取为 n－r 个独立常数。这表明：

齐次线性方程组Ax = 0 解向量集的秩 =  n－r (A)  

（*画外音：我称这个公式为“核心恒等式”。它贯穿全课程，年年必考。）

如果系数矩阵的列向量组线性无关，即秩 r = n ，则齐次线性方程组只有唯一的零（零向量）解向量。

     n－n = 0 ，完全一至

理解(2)  已知矩阵A 的秩为 r  →  A的 所有 r + 1 阶子式全为0 →

 →  如果要计算矩阵内的参数值，选取含有参数的 r + 1 阶子式列方程。

理解(3)  A 是 m×n  阶矩阵，则 秩 r (A)≤ min（m ，n） ；

（画外音：可以称为，矩阵秩的第一个“不超过”，“自然不超过”。）

若A 是非零阵 ，    则  r (A)≥ 1

非零列向量或行向量视为列矩阵或行矩阵，显然其秩为 1

如果 n 阶方阵A的秩 r (A) = n，就称 A为满秩方阵。或可逆的，非退化的；非奇异的。

*例22   A*是n阶方阵A的伴随阵。试讨论

 （1）若|A|≠ 0 ，r (A*) = ？          (2)  r (A)＜ n－1 时 r (A*) = ？   

分析  （1） 若|A|≠ 0，由“基本恒等式”   AA* =  A*A = |A|E    ，即

AA* ∕|A|=  A*A∕|A| = E  ，A*满秩。  A*∕|A|与 A互为逆阵。

(2)    若  r (A)＜ n－1 ，则 A 的 所有 n－1 阶子式全为0 ；

从而   |A|的代数余子式都为 0 ，A* 是零矩阵。 r (A*) = 0

**（3） r (A) = n－1 的情形是一个高级问题。（“核心恒等式”用于讨论矩阵的秩。）

若   r (A) = n－1，则 A 至少有一个 n－1 阶子式不为 0，A*是非零阵，r (A*)≥ 1

又，|A|= 0 ，由行列式展开定理看出，A的任一行元素的代数余子式，即 A* 的任意一个列向量，与A 的各个行向量都正交。这表明它们都是方程组 Ax = 0 的解。于是

A* 的列向量组可以被方程组 Ax = 0 的基础解系线性表示。

r (A*) ≤ 方程组 Ax = 0 的解集的秩 = n － r(A) = n－(n－1)= 1    夹逼得 r (A*) = 1