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行列式是 n×n 个元素的一种规定算法。非数学专业的学生学习这一部分时,要重在结论与方法,不要太在意行列式定义及行列式性质证明等细节。
代数余子式与行列式展开定理是这部分的重点。
1. 代数余子式
n 阶行列式划去第 i 行第 j 列后得到的 n-1 阶行列式,称为其元素 a i j 的余子式。记为 Δi j ;添加一个符号,又记 A i j = (-1)的(i+j)次方Δi j ,称为其元素 a i j 的代数余子式。
a i j 也有双重身份。既表示位于行列式第案i 行第 j 列交叉处的元素,又代表那个位置。
某一行(列)元数的代数余子式有下述两个特点:
(1) 它们的“外加符号” (-1)的(i+j)次方 是顺次交错的。
(2) 即便在行列式中将第i行元素划掉,它们的代数余子式的信息仍然还全部保留着。
2. 行列式展开定理
代数余子式的基本作用就是给n阶行列式一个展开式。
行列式展开定理 已知n阶行列式D,则对第i行,1 ≤ i ≤ n ,有
a i1 A i1 + a i2 A i2 + … + a i n A i n = D
而 i≠j 时 a i1 A j1 + a i2 A j2 + … + a i n A j n = 0
鉴于逆向思维的困难,我有意把第一个公式的左右端对调。
从右向左,叫 n 阶行列式 D 按第 i 行展开。(拉普拉斯展开定理的特殊情形。)
从左向右,强调第 i 行与自己的代数余子式行向量作内积,恰是原行列式。
定理的后式表明,第 i 行向量与别的任一行的代数余子式行向量正交。
思考(1) 连续使用行列式展开定理,最终可以把n阶行列式表示为若干个3阶或2阶行列式的线性组合。
如果你能利用行列式的性质,(即把行列式的某行的k倍加到另一行,行列式的值不变。)先将n阶行列式D化为上(下)三角行列式,则D的值等于上(下)三角行列式主对角线上元素的连乘积。
思考(2) 已知n阶行列式D,问,线性组合 c1 A i1 + c2 A i2 + ------ + c n A i n = ?
与行列式展开定理公式对比,这个线性合相当于用系数行 c1,c2,---,c n 代替了(或说,具体化了)D的第 i 行。逆向思维,它等于D的第i行换成此系数行而得到的新行列式 D i
例18 已知四阶行列式D 的第 3 行元数都是 2 ,则 A21 + A22 + A23 + A 24 = 0 , 为什么?
分析 A21 + A22 + A23 + A 24 等于将D的第 2 行元数全换为 1而得到的新行列式。显然,这个行列式的第2 行与第 3 行成比例。
例19 设A是个n 阶方阵。B是将A的第 1行划去而得到的(n-1)×n 阶矩阵。作齐次线性方程组 Bx = 0 ,你能用代数余子式概念,给出它的一个解吗?
分析 仅仅划去方阵A的第 1 行,那就还保留着|A|的第 1 行元素的代数余子式信息。
第 1 行元素的代数余子式组成的向量,与其它各行都正交。因而它就是方程组 Bx = 0 的一个解向量。
例20 设 n 阶行列式D 的第 1 行是 n 个可导函数,其它行的元都实数。则 D是这 n个可导函数的线性组合。为什么?
你能用行列式表示这个线性组合的导数吗?
分析 你能左右运用行列式展开定理,“展开”“回收”自由,这类题就只是个小游戏。
对D按第 1 行展开,每个代数余子式就是一个实数。展开式就是那 n个可导函数的线性组合。
线性组合的导数,是这 n 个函数的导数的线性组合。系数还是第1 行元素的代数余子式。逆向思维,导数的线性组合就是行列式D的第 1 行各函数,分别换成其导数后得到的 n 阶行列式。
(潜台词:自己写个三阶情形,好好想想。)
(3)格莱姆法则 _ 利用代数余子式,可以用消元法解有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组 Ax = b
如果 D =|A|≠0 ,则方程组有唯一的解
x =(D1 / D,------,Dn / D) ;D j 是将D 的第 j 列换为常数列 b 而得到的行列式。
格莱姆法则的证明过程,是运用代数余子式的“正交消元法”。值得一看。
由此推得:
n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零解的充分必要条件是 |A|≠0
n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是,它们排成的行列式不为 0
思考(4) 设如果 A 是 n 阶方阵,且|A| = 0 ,则由行列式展开定理知,A 的任一行元素的代数余子式,与A的每个行向量都正交。即
A的任一行元素的代数余子式,都是齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量。
遇到n个未知量n个方程的线性方程组的题目,要首先看看(3)与思考(4)能否用上。
3.n 阶方阵A的伴随阵A*
每个 n 阶方阵 A 相应有行列式|A|;|A|有 n×n 个代数余子式 ,它们按转置方式排成 n 阶方阵 A*,称为 A 的伴随阵。
由 A* 的构造设计得到“基本恒等式” AA* = A*A = |A|E
基本恒等式可以将格莱姆法则的证明过程大大简化。即 |A|≠ 0 时 ,有
Ax = b —→ A* Ax = A* b —→|A|x = A* b —→ x = A* b∕|A|
考研试题围绕代数余子式与 A* 形成一个考点。
例21 已知三阶方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式。且a 33 = -1,|A| = 1,若b =(0,0,1)ˊ,则
方程组Ax = b的解是
(A)(3,5,2)ˊ;(B)(1,2,3)ˊ;(C)(0,0,-1)ˊ;(D)(1,0,-1)ˊ
分析 由已知条件选第三列来展开 |A|,得到方程 a 13·a 13 + a 23·a 2 3 + a 33·a 3 3 = 1
因为 a 33·a 33 = 1,所以 a 13 = a 2 3 = 0 ;A的第三列为(0,0,-1)
Ax = b 是3 个未知量 3个方程的方程组。先用格莱姆法则试试求解。
已知|A|的第 3 列(0,0,-1)ˊ。若把|A|的第 1 或第 2 列分别换成
b =(0,0,1)ˊ,就会有两列成比列,故D1 = D2 = 0 ,应选(C)。
4.矩阵的秩
从应用角度考虑,行向量组的秩表示齐次线性方程组中相互独立的方程个数。应该就是系数矩阵的秩。从研究矩阵出发,则要兼顾行与列。
定义 —— 矩阵A的不为零的子式的最高阶数r ,称为矩阵A的秩。记为 r (A)
理解(1) 已知矩阵A的为秩r → A至少有一个r阶子式不为0 →
→ 排成该子式的r个r维的行(或列)向量线性无关 →
→“线性无关,延长无关”。这些r维行(或列)向量所在的,矩阵A的r个行(或列)向量线性无关。→ 它们是A的行(或列)向量组的一个最大无关组。
(等价性原理(不证)—— 矩阵的秩,即是它的行(或列)向量组的秩。)
→ 齐次线性方程组 Ax = 0 相应的 r 个方程相互独立。
—→ 一个方程可以解出一个未知量。r 个相互独立的方程只能解出 r 个未知量。方程组的通解中必定含有 n-r个独立未知量。只能把它们取为 n-r 个独立常数。这表明:
齐次线性方程组Ax = 0 解向量集的秩 = n-r (A)
(*画外音:我称这个公式为“核心恒等式”。它贯穿全课程,年年必考。)
如果系数矩阵的列向量组线性无关,即秩 r = n ,则齐次线性方程组只有唯一的零(零向量)解向量。
n-n = 0 ,完全一至
理解(2) 已知矩阵A 的秩为 r → A的 所有 r + 1 阶子式全为0 →
→ 如果要计算矩阵内的参数值,选取含有参数的 r + 1 阶子式列方程。
理解(3) A 是 m×n 阶矩阵,则 秩 r (A)≤ min(m ,n) ;
(画外音:可以称为,矩阵秩的第一个“不超过”,“自然不超过”。)
若A 是非零阵 , 则 r (A)≥ 1
非零列向量或行向量视为列矩阵或行矩阵,显然其秩为 1
如果 n 阶方阵A的秩 r (A) = n,就称 A为满秩方阵。或可逆的,非退化的;非奇异的。
*例22 A*是n阶方阵A的伴随阵。试讨论
(1)若|A|≠ 0 ,r (A*) = ? (2) r (A)< n-1 时 r (A*) = ?
分析 (1) 若|A|≠ 0,由“基本恒等式” AA* = A*A = |A|E ,即
AA* ∕|A|= A*A∕|A| = E ,A*满秩。 A*∕|A|与 A互为逆阵。
(2) 若 r (A)< n-1 ,则 A 的 所有 n-1 阶子式全为0 ;
从而 |A|的代数余子式都为 0 ,A* 是零矩阵。 r (A*) = 0
**(3) r (A) = n-1 的情形是一个高级问题。(“核心恒等式”用于讨论矩阵的秩。)
若 r (A) = n-1,则 A 至少有一个 n-1 阶子式不为 0,A*是非零阵,r (A*)≥ 1
又,|A|= 0 ,由行列式展开定理看出,A的任一行元素的代数余子式,即 A* 的任意一个列向量,与A 的各个行向量都正交。这表明它们都是方程组 Ax = 0 的解。于是
A* 的列向量组可以被方程组 Ax = 0 的基础解系线性表示。
r (A*) ≤ 方程组 Ax = 0 的解集的秩 = n - r(A) = n-(n-1)= 1 夹逼得 r (A*) = 1
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