在向量内积的基础上，人们规定了矩阵的乘法。

m×n 阶矩阵A与 n×s 阶矩阵B可以有乘积矩阵 AB =（b i j）。AB是 m×s 阶矩阵，它的元素   

                   c i j  =  A的第i行与B的第j列的内积。

阶数规则 （m×n）（n×s）=（m×s）， 保证“左行右列作内积”可行。

尽管矩阵乘法不满足交换律。但是，矩阵乘法在多方面的成功应用，令人感到很惬意。

（1）若A，B都是n阶方阵。则 |AB|=|A||B|

我们知道，|A+B| 难解。相比之下，乘积算法复杂得多，而积矩阵行列式公式却如此简明，自然显示了矩阵乘法之成功。

特别地，如果 AB = BA = E，则称B是A的逆阵；或说A与B互逆。

|A|≠0时，将积的行列式运算法则用之于基本恒等式。即  A A* = A*A = |A|E  两端“取行列式”，得   

|A A*| = ||A|E |，| A*| = |A|的n－1次方

（潜台词：|A|≠0时，可以说A与A*/|A|互逆。但这并不是求逆阵的基本方法。）

（2）对矩阵实施三类初等变换，可以通过三类初等阵分别与矩阵相乘来实现。“左乘行变，右乘列变。”给理论讨论及应用计算机带来很大的方便。

 

（3）分块矩阵乘法，形式多样，内函丰富。

要分块矩阵乘法可行，必须要在“宏观”与“微观”两方面都确保可乘。

方式1   AB = A（b1，b 2，---，b s）=（A b 1，A b 2，---，A b s）

宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则（1×1）（1×s）=（1×s）

微观可乘：相乘的子块 A b j 都满足阶数规则：  （m×n）（n×1）=（m×1）

具体如，A b1是一个列向量

 

AB = 0的基本推理 ——

 AB = 0（阵）    即（A b 1，A b 2，---，A b s）=（0，0，---，0）

—→ A b j = 0 ，B 的每一个列向量都是方程组 Ax = 0 的解。

—→ B 的列向量组可以被方程组Ax = 0的基础解系线性表示。（答题时，此步可省去。）

—→ r (B) ≤ 方程组 Ax = 0 的解集的秩 = n － r(A)  →  r (B)+ r(A)≤ n

 

例24   已知（n维）列向量组a1，a 2，---，a k 线性无关，A是 m×n 阶矩阵，且秩为 n，试证明，

Aa1，Aa 2，---，Aa k线性无关

分析  设有一组数c1，c2，---，c k，使得  c1 Aa1+ c2 Aa 2+ ---+ c k A a k = 0

即          A（ c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k ） = 0

（潜台词：请对比，若A是可逆方阵，两端左乘以A的逆。）

这说明   c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k  是方程组 Ax = 0 的解。

但是，r (A) = n ，A 的列向量组 a1，a 2，---，a k 线性无关， 方程组 Ax = 0 仅有0 解。

故       c1a1+ c2a 2+ ---+ c ka k = 0     由已知线性无关性得常数皆为0

 

方式2  AB =（a1，a 2，---，a n）（b i j）

=（a 1 b 11 + a 2 b 21 + ------ + a n b n1 ，……，a 1 b 1n + a 2 b 2 n + ------ + a n b n n）

其中，A取列分块式，（b i j）表示没有分块的n×s 阶矩阵 B

宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则（1×n）（n×s）=（1×s）

微观可乘：A的列向量与B的元素相乘。即数乘向量。

显然，等式中乘积AB具列分块式。且它的各列都是A的列向量的线性组合。

结论 → AB的每一个列向量都可以被A的列向量组线性表示。

→ 秩r(AB) ≤ r(A)

 

方式3  AB =（a i j）（B的行分块式）=（AB的行分块式）

（板块没有数学编辑功能，读者自己写出来观察。）

宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则（m×n）（n×1）=（m×1）

微观可乘：A的元素与B的行向量相乘。即数乘向量。

显然，等式中乘积AB具行分块式。且它的各行都是B的行向量的线性组合。比如，A的第1行与（B的行分块式）作“形式内积”，得到积阵AB的第1个行向量。

结论 → AB的每一个行向量都可以被B的行向量组线性表示。

→ 秩r(AB) ≤ r(B)

这样一来，联系方式2所得结论，有  秩 r (AB)≤ min（r(A) ，r(B)）

（画外音：可以称为，矩阵秩的第二个“不超过”，“乘积秩不超过”。

 

要会讨论矩阵“秩”，熟记“三个不超过”：

第一个“不超过”，“自然不超过”。—— A是m×n阶矩阵，秩r (A)≤ min（m ，n）

第二个“不超过”，“乘积秩不超过”—— 秩 r (AB)≤ min（r(A) ，r(B)））

第三个“不超过”，“ 乘积为0不超过”—— A是m×n阶矩阵，AB = 0 ，则

r (B) ≤ 方程组Ax = 0的解集的秩 = n － r(A)

 

例25   A与B都是m×n阶矩阵，若m ＞ n，则行列式 |ABˊ| = 0

分析  （m×n）（n×m）= （m × m）， ABˊ是m阶方阵。

而        r (AB) ≤ min（r(A) ，r(B)）≤ n ＜ m ，AB不满秩。  结论正确。

例26  已知非零列向量 α=（α1，---，αn）ˊ与非零行向量β=(β1 ，---，βn)，把它们视为矩阵，

秩 r (αβ)=？

分析  左列右行，满足阶数规则（n×1）（1×n）=（n×n）；乘积αβ是个n阶方阵。

非零列矩阵，行矩阵的秩都为1，故r (αβ) ≤ min（r(α) ，r (β)）= 1

对于非零向量α，β，不仿设α1≠0，β1≠0，从而 α1β1 ≠ 0 ，

αβ是个 n 阶非零阵 ，r (αβ) ≥ 1  ，     只有   秩 r (αβ) = 1

 

方式4   AB =（A的行分块式）（b1，b 2，---，b s）

宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则（m×1）（1×s）=（m×s）

微观可乘：A的行与B的列作向量内积。

这个分块乘积式显式了矩阵乘法与内积的关系。矩阵乘法就是这样规定实施的。

例27  设A是n阶方阵，证明A的列向量组是标准正交组（即A是正交阵）的充分必要条件是 AˊA  =  E

分析  既然讨论A的列向量组，自然先把A写成列分块式  A =（a1，a 2，---，a n）

AˊA =（a1ˊ，a 2ˊ，---，a nˊ）ˊ（a1，a 2，---，a n）=（ a iˊa j ）

（画外音：从宏观可乘的角度看，这是“左列右行得矩阵”。）

如果A的列向量组是标准正交组，显然有AˊA =（ a iˊa j ）= E

如果 AˊA =（ a iˊaj ）=  E，矩阵相等，对应元素相等。n×n个方程恰好表明了A的列向量组是标准正交组。

（画外音：怎么样！体会到选择描述方式的威力了吧。）

*例28  设A是m×n阶阵，r (A) = n ； B是n×s阶阵。证明 r (AB)= r (B)

分析  由乘积关系有已 r (AB) ≤ r (B) = k

如果 m = n，则 B = (A逆)AB ，自然有  r (B) ≤ r (AB)，只有  r (AB)= r (B)

今   m ＞ n ，不仿设 B 的列最大无关组为 b1，b 2，---，b k  

例24已经证明了，A 是m×n 阶矩阵，r (A) = n 时，Ab1，Ab 2，---，Ab k 线性无关。

它们都是AB的列向量。这表明 r (AB) ≥ k ，两式夹逼得     r (AB)= k

啊！最大无关组客观存在。要用它，就先把它设出来。

 

方式5  两类特殊情形——“形式内积”

(a1，a2，… ，a n) （c1，c2，… ，c n）ˊ= A的列向量的线性组合。

（c1，c2，… ，c n）（n×s 阶阵B的行分块式 ）= B的行向量的线性组合。

这在“向量内积学在前”一讲中已经提过。现在要强调算式的双向性。

例29         设有三维列向量a1，a2，a3，作矩阵A =（a1，a2，a3），已知 |A| = 1

作   B = （a1 + a2 + a3，a1 + 2a2 +4a3，a1 + 3a2 + 9 a 3），试求 |B|= ？

分析  关键在于反写“形式内积”。即   a1 + a2 + a3 =（a1，a2，a3）（1，1，1）ˊ

a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3）（1，2，4）ˊ    a1 + 3a2 + 9a3=（a1，a2，a3）（1，3，9）ˊ

  |B| = |A||C|= 2 ，C是三个列向量排成的矩阵。具有三阶范达蒙行列式。

看来颇为复杂的问题。一个乘法变形就明白了。矩阵乘法，那真是一项技术活啊！