(4月8日在论坛上见)问题:

设函数 f(x) 在 (-∞，+∞) 内单调有界，{xn}为一数列。下面命题正确的是(?)
              A、 若{xn}收敛，则{f(xn}收敛。   

    B、 若{xn}单调，则{f(xn)}收敛。
              C、 若{f(xn)收敛，则{xn}收敛。   

    D、 若{f(xn)}单调，则{xn}收敛。

       回复：颇有意思

   （1）——（C）（D）都不对的关键在于：
  在本题条件下，就算相应的函数值列收敛或单调，自变量列xn 可以是趋向正无穷的，没有极限。
     （2）——（A）情形只知道自变量列xn 收敛，它可能不是单调的。

单调的函数不一定连续。且，“如果单调函数在单调区间内一点 x0 间断，则只能是跳跃间断。”（实际上，如果函数在x0的左右极限相等，则 f（x0）只能等于极限值，否则就破坏了单调性。）
       设想 xn 既有子列从左边，又有子列从右边趋向点x0，则自变量列收敛于点x0而相应的函数值列却不收敛。故（A）错。

反例：x 小于 0 时 f = x ，f（0）=1 ，x 大于 0 时 f = 2 + x
      （3）——（B）对。在本题条件下，若自变量列单调，相应的函数值列必定也单调。且是有界的。