讨论好连续函数的极值点，图形拐点，零点。函数图形特征一目了然。

1．极值点与图形拐点

极值点是函数单调性改变的分界点。极值是函数微局部的最大或最小值。由于只是微局部的最值，就有可能某个极大值比另一个极小值还小。

唯一的极值（极大或极小）一定是函数的最值。实际上，极值点唯一，函数分两段单调，且单调性不同。如果有另一个最值，则它必定是边界值。函数图形类似于抛物线。

用增量的语言来说，函数在一点取得极值的充要条件是，在此点的适当小邻域内，函数增量Δy为负（极大）或为正（极小）。

按照游戏规则，定义区间端点没有资格做极值点。

计算闭区间上连续函数的最值 —— 把驻点（一阶导数的零点），不可导点，区间端点，……，排成一列，比对相应函数值来挑选。

拐点（x0，y0）—— 函数图形凹凸性改变的分界点。在x0 两侧，函数的二阶导数反号。

函数有高阶导数时，可以用疑点处的高阶导数值来作判断。称之曰“第二判别法”。

如果驻点处的二阶导数小（大）于 0 ，则函数值极大（极小）。在多元情形，没有了单调概念。要判断普通极值，就只能依靠“二阶导数”。 驻点处的多个“二阶导数”值恰能排成一个方阵（海森矩阵），最终得用上《线性代数》理论。

如果拐点疑点（二阶导数的零点）处的三阶导数值不为0，则图形上的相应点一定是拐点。在指导（13）中“逐阶说单调”时，我们已经得到了这个结论。

例70  已知连续函数 f (x) 在点 x = a 有极大值 f (a ) ，则在点 a 的适当小的邻域内有

（A）（x－a）（f (x)－f (a)）≥ 0        （B）（x－a）（f (x)－f (a)）≤ 0  

（C） t →a 时，lim（f (t)－f (x)）∕(t →x)平方≥ 0 ,（x≠ a)

(D)   t →a 时，lim（f (t)－f (x)）∕(t →x)平方 ≤ 0 ,（x≠ a)

分析  在极值点的两侧，函数增量Δy 定号且同号，自变量增量Δx 则左负右正，故乘积Δx·Δy在极值点的两侧必定反号，（A）、（B）皆错。

（C）与（D）是连续函数取极限。  f (a)是极大值 ，f (a)－ f (x) ≥ 0  ，应选（C）

例71   函数 f (x) 有连续的二阶导数，且 f ′(0) = 0 ，又当 x 趋于0 时，极限

                                        lim  f  "（x）∕∣x ∣= 1 ，则

（A） f (0) 是 f (x) 的极大值                   （B） f (0) 是 f (x) 的极小值

（C）(0，f (0)) 是曲线y = f (x)的拐点。  （D）f (0)不是函数的极值，(0，f (0))也不是拐点。

分析  （基本推理。符号体验，近朱者赤。）在 x = 0 的适当小的去心邻域内，要取极限的商式恒正，分子分母同号。即有 f "（x）＞ 0

逐阶说单调。一阶导数 f ′(x) 单增而 f ′(0) = 0 ，所以 f ′(x)在0点左侧为负，右侧为正。函数f (x) 先单减再单增，f (0) 极小。选（B）。

    例72   已知函数 y = (x－1)平方·(x－2)平方，它的图形共有几个拐点？

分析 （1）函数是四次多项式，有两个二重根。只好先求一阶导数。

（2）  y′= 4（x－1）（x－2）（x－3），三次多项式总共有3个单根。

（画外音：可以做“垒宝塔” 游戏了。）

（3）  y" 有且仅有两个零点 ξ1，ξ2 ，且1 ＜ξ1 ＜ 2 ＜ξ2 ＜3

（4）三阶导数是一次多项式，有且仅有 1 个零点，且位于ξ1与ξ2 之间。

（5）逆向思维，三阶导数在点ξ1 与ξ2 都不为零。故函数图形共有两个拐点。

例73   设 f (x)=∣x（1－x）∣，讨论，0 点是否是 f 的极值点，（0，0）是否是其图形的拐点。

分析 （1）第一感觉，f 是连续的分段函数。在 0 点做微局部讨论。只需在0点邻近把它还原为分段表达式。(潜台词：不要去管另一个零点，自讨麻烦。) 即

x ＜ 0 时  f = x（x－1） 而  x  ＞ 0 时  f  = x（1－x）

（2）用第一判别法。不要管中心点，直接在原点两侧分别求一，二阶导数，再看符号。

（3）结论：0 点是 f  的极值点，（0，0）又是其图形的拐点

(画外音：为什么会这样，鱼和熊掌兼得。原因在于 0 点是不可导点。)

 

例 74    设函数 f (x) 满足  f "(x) + f ′(x) f (x)= x  且 f ′(0) = 0 ，讨论 0 点是否是 f  的极值点，（0，f (0)）是否是其图形的拐点。

分析 （1）“满足”意味着“逐点成立”。 令 x = 0 ，得 f "(0)= 0 ，0点是双重疑点。

（2）既不能对关系式两端求导，又没有别的信息。只好思考，关系式能否变形？

（3）如果最终使用第一判别法，那就可以不管中心点0 ，只在其两侧考虑。联想到“基本推理”集成块，我们在关系式两端同除以 x ，得       f "(x)∕x + f ′(x) f (x)∕x = 1

再令x趋于0，各项分别取极限，得    lim  f "(x)∕x = 1 

（画外音：主动求极限，难！？这就又上了“体验符号，近朱者赤。”的轨道。）

其中，        lim  f ′(x) f (x)∕x = lim f ′(x)·lim（f (x)∕x）= 0

（画外音：好机会哦。要想想这第二项为什么不能整体用洛必达法则求极限。但是，不知道 f (0)是否为零，必须对后一因子用洛必达法则求极限。）

f"(x)在原点两侧反号，（0，f(0)）是函数图形的拐点。

 

对于分段单调的连续函数来说，相邻的两个极值点不能同为极大（或同为极小）。否则，函数先增后减形成极大。在相邻的两个极大点之间，会出现由单减变为单增的变化。变化的分界点又是一个极值点。与“相邻”的条件矛盾。

例 75   如果函数二阶可导，则相邻的两个极值点之间一定至少有一个拐点。

实际上，设极值点为x1，x2，且 x1 ＜ x2 ，则 f ′(x1) = f ′(x2) = 0

要是二阶导数在（x1 ， x2）内不变号，则一阶导数单调。无论单增或单减，f ′(x2) = 0都是不可能的。矛盾。

 

（2）连续函数的零点

运用单调性可以在理论上给出函数的零点个数及各自所在的区间。

讨论连续函数的零点（方程的根的讨论归结为讨论函数的零点。），先要求导，利用导数确定函数的单调区间。每个单调区间上，函数最多只有一个零点。有没有零点，用介值定理判断。

例76   常数 a≠0 ，方程 x = ln ax  在

 （A） a ＜ 0 时没有实根。         （B）0＜a＜e 时有一实根。

 （C） a = e  时有三个实根。       （D）a＞e 时有两个实根。

分析   有三个选择涉及a＞0 ，就先设 a＞0 ；作 F = x － ln ax ，定义域为 x ＞ 0

Fˊ（x）= 1 －1∕x ，有唯一驻点，函数分两段单调。且显然 F"（x）＞ 0， F（1）是极小也是最小。    （画外音：类似于抛物线零点讨论。赶快求两侧极限。）

x 趋于0+ 时，lim F = +∞ ；x 趋于+∞  时，lim F = +∞   （潜台词：“开口”向上。）

       F（1）= 1 － ln a  的符号决定了答案。应该选（D）。