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日志

考研数学讲座(17)论证不能凭感觉

热度 6已有 1417 次阅读2010-4-28 11:39 |个人分类:学习经验|

 一元微分学概念众多,非常讲究条件。讨论问题时,要努力从概念出发,积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。

  1 x趋于∞时,求极限  lim xsin2x(x平方+1)  ,你敢不敢作等价无穷小替换?

 分析   只凭感觉,多半不敢。依据定义与规则,能换就换。

  x 趋于∞时,α = 2x(x平方+1)是无穷小,sinα 无穷小,

 sinαxαx)且 sinα 处于“因式”地位。可以换。

 等价无穷小替换后,有理分式求极限,是“化零项法”处理的标准∞∕∞型,答案为 2

 

  2.设f(x)可导,若f(x)是奇(偶)函数(周期函数,单调函数,有界函数),它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性(周期性,单调性,有界性) ?

分析  有定义数学式的概念,一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如

奇函数   f(x)= f(x)          周期为T的函数   f(x+T)= f(x)

等式两端分别求导,得 fˊ(x) = fˊ(x)       fˊ(x+T)= fˊ(x)

(实际上,由复合函数求导法则, (f(x))ˊ= fˊ(x) (x)ˊ= fˊ(x)

所以,奇函数的导数是偶函数;偶函数的导数是奇函数。(如果高阶可导,还可以逐阶说下去。)周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是,因为 (x)ˊ= 1 ,有的非周期函数,比如y = x + sinx ,的导数却是周期函数。

(潜台词:周期函数的原函数不一定是周期函数。)

单调函数定义中没有等式的概念,可以先在基本初等函数中举例观察。

y = x单增,yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在(0,π/2)单增,yˊ = conx 单减,没有确定的结论。

有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到,在x趋于x0时,要是导数值无限增大,相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然,圆周上就有具竖直切线的点。

y =√(1x的平方),它在[01]有界,但是 x 趋于 1 时,其导数的绝对值趋于正无穷。

这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

画外音写出来很吓人啊。  x 1 时 ,lim f (x) = 0 ,而 lim fˊ(x)= -∞ )

 

3 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗?

分析  连续函数的复合,花样更多。原因在于复合函数fgx)的定义域,是fx的定义域与gx值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而,有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如:

取分段函数 gx)为,x   0 g =1   ,  x 0 g = 10是其间断点。

fu=u ,则 fgx= 1 x   0 时有定义且连续。

还有一些原因让“病态点”消失。

如果只图简单,你可以取 fu)为常函数。以不变应万变。

fu= u的平方 ,则 fgx= 1 ,显然是个连续函数。

 

4f (x)可导,x趋于 +∞ 时 ,lim f (x) = +,是否必有lim fˊ(x)= +

分析  稍为一想,就知为否。 例如  y = x

更复杂但颇为有趣的是 y = ln x x 趋于 +∞ 时 ,它是无穷大。但是 yˊ = 1x 趋于0 ,这就是对数函数异常缓慢增长的原因。

5.设f(x)可导,x 趋于+∞时,lim fˊ(x) = +, 是否必有  lim f(x) = +

分析  用导数研究函数,这是微积分的正道。首先要体念极限(见指导(3)。):

因为 lim fˊ(x) = +∞,所以当 x 充分大时,不仿设 x x0 时,总有 fˊ(x)1

用拉格朗日公式给函数一个新的表达式

f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(xx0) , x0 <ξ< x  

(潜台词: ξ=ξ(x) 。你有这种描述意识吗?)

进而就有,  x x0 ,  f (x) f (x0) + 1(xx0)    (画外音:这一步是高级动作。)

因为 f (x0)是个常数,x0是我们选择的定点,所以上式表明,必有 lim f (x) = +

6 。 设 f (x)可导,x 趋于 -∞ 时,lim fˊ(x)=- , 是否必有 lim f (x)= -

分析  否。你如果与上述问题5对比,认为情形相仿,结论必有。那就太想当然了。

请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是 

x  趋于 -∞ 时,lim fˊ(x)= - ,  则必有   lim f (x) = +

 

7.设 f (x)可导,x 趋于+∞时,lim f (x) = c(常数,)是否必有lim f ˊ(x) = 0

分析  否。lim fˊ(x) 有可能不存在。

这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时,最初的想法就是,“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线,函数又可导,当然在 x 趋于+∞时,切线就趋于水平了。”

想当然的原因之一是我们见识太少,脑子里的函数都较简单,图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

由极限定义的水平渐近线,并不在乎曲线中途是否与其相交。比如,

曲线可以以渐近线为轴震荡,最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。

对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在,则必有 lim fˊ(x) = 0

    用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x) = A 0

与前述5中同样,可以选定充分大的正数 x0,使 xx0 时,总有 fˊ(x)A/2 ,然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式,导数条件管住ξ,从而有

f (x) f (x0) + A(xx0) /2 —→+               矛盾。

 

8.函数在一点可导,且导数大于0 ,能说函数在这一点单增吗?

分析  不能。函数的单调性是宏观特征,背景是区间。函数在一点可导,且导数大于0,其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式,即

x 趋于x0 时,lim ( f (x)fx0))/ xx0)> 0

如果没有别的条件,下一步就试试体念符号。即在x0邻近,分子分母同号。进而在其右侧邻近,分子分母皆为正,f (x) fx0) 。但是,我们不知道函数值相互间的大小

 

*9  f (x)可导,若fˊ(a)·fˊ(b) 0 ,则(ab)内必有点c fˊ(c) = 0

分析  对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是,导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。

在本篇问题8中,我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设

fˊ(a) 0    fˊ(b) 0

分别在a b两点处写出导数定义式,体念极限符号,(本篇问题8)可以综合得到结论:

          函数的端值 f (a)f (b) 都不是 f (x)[ab] 上的最大值。

最大值只能在(ab)内一点实现,该点处导数为0

好啊,多少意外有趣事,尽在身边素材中。要的是脚踏实地,切忌空想。

 


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