计算行列式的基本方法，是作变换把行列式化为上三角或下三角形。求矩阵的秩，基本方法也是作变换把矩阵化为上三角阵或“上梯形”的。不同的是，对行列式作“等值变换”，只能是“把行列式的某一行（列）k倍后加到另一行（列）”。而对矩阵作“保秩变换”，则有三类初等变换，全都源于解线性方程组的同解变换。

通过初等阵乘以矩阵来实现初等变换。“左乘行变，右乘列变。”既有利于理论分析，又利于应用计算机处理。同时，这又是矩阵乘法成功的标志之一。

1．初等变换与初等阵

三类初等变换分别对应有初等阵——设数 k≠0

（1）数乘行（列）阵 E（i（k））—— 将矩阵的第 i 行（列）k 倍。

（2）对换阵 E（i，j）—— 对换矩阵的第 i 行（列）与第 j 行（列）。

（3）倍加阵 E（i（k），j）—— 把矩阵的第 i 行（列）的 k 倍加到第 j 行（列）。

三类初等阵分别有行列式 

|E（i（k））| = k ，| E（i ，j）| = －1 ，| E（i（k），j）| = 1

这表明初等阵都是满秩阵。

初等阵的逆也应该是初等变换。顾名思义，对矩阵做某类初等变换后再做相应的逆变换。其效果是将该矩阵还原。从这个思路出发，显然三类初等阵的逆阵分别是    

 E（i（1/k）） ， E（i ，j） ， E（i（－k），j）

且用积矩阵的秩规律即知，“初等变换不改变矩阵的秩。”

由“基本恒等式”  AA* =  A*A = |A|E   得|A|≠0时 ，（A逆）= A*∕|A|

故   A* = |A|·（A逆），由此算得三类初等阵的“伴” 分别是

                  E*（i（k））= k E（i（1/k））      ，      E*（i，j）= －E（i，j）

E*（i（k），j）= E（i（－k），j）

 

例32   A 与B 都是三阶方阵，将 A 的第 1 行的－2 倍加到第3行，所得矩阵记为C ，将 B 的第1列乘以－2，所得矩阵记为D，如果已知乘积阵CD，（无法输，但次要。略。）求乘积阵AB

分析  用初等阵表示初等变换，问题就简化为矩阵运算。依照题意

C = E (1(－2），3)A ，    D = B E(1(－2））

故              CD = E (1(－2），3) A B E(1(－2）） ，  可以用逆阵解出 AB

E (1(－2），3) 的逆 为 E (1(2），3)  ， E(1(－2 ））的逆 为 E(1(－1/2））

从而           AB = E (1(2），3)CD E(1(－1/2）），也就是对 CD 作一个行变换再做一个列变换。

（潜台词：CD具体与否，那是很次要的。不过，考试时可不要搞错了。）

例33    设 A为 n 阶可逆阵。交换 A 的第 1 行与第 2 行得到矩阵 B ，则

（A）交换 A*的第1列与第2列得 B*  ，  （B）交换 A*的第1行与第2行得 B*

（C）交换 A*的第1列与第2列得 －B*    （D）交换 A*的第1行与第2行得－B*

分析       (CD)* = | CD|·（CD的逆）=|C||D|·（D的逆）（C的逆）= D*C*

若   B = E(i，j)A ， B* = A*E*(i，j) = A*（－E（i，j）），即  －B* = A* E（i，j）

从而， 由 B = E(1，2)A  具体得    －B* = A*E（1，2），这表明，应该选（C)

 

例34    A 是 m×n 阶矩阵，其秩 r (A) = m＜n ，E 是 m 阶单位矩阵。下述结论正确的是

  （A）A 的任意 m个列向量必线性无关。   （B）A 的任意一个 m  阶子式都不为零。

   （C）若有 BA = 0 ，则必有 B = 0（阵）   （D）用初等行变换可以把 A 化为（E，0）

分析    由于有“任意”两字，（A）（B）都错。如果只用初等行变换就可以把矩阵 A 化为（E，0），则A的左起前 m 列线性无关。这就特殊了。只能选（C）

实际上，BA = 0 → A的每一个列向量都是方程组 Bx = 0的解。x 是m 维向量

→ 方程组 Bx = 0 的解集的秩 = m－ r(B)≥ r (A) = m

矩阵的秩是非负数。只有 r(B)= 0

（画外音：请熟记“矩阵乘积为0”的基本推理。写出来再说啊。）

2．初等变换法求逆

我们在计算机上用初等变换法求满秩方阵的逆。设A是要求逆的满秩方阵

（A|E）→（初等行变换）→（E|J1·J2·---·Js）

右边的单位矩阵E好比是一张白纸，以矩阵积的方式记录下了所施行的初等行变换。这就得到了   

                 A的逆 = J1·J2·---·Js

同时也就有 A = （J1·J2·---·Js）的逆= （Js的逆）·---·（J1的逆）

定理  任何一个n 阶满秩方阵都是若干个初等阵的连乘积。

（潜台词：表示法显然不唯一。）

例35   已知 4 阶方阵 A 的伴随阵 A* ，且有  AB（A逆）= B（A逆）+3E ，求矩阵 B

分析  需要从已知关系式中解出矩阵 B ，且不要出现 A ，只用 A*的算式来表示 B

已知矩阵等式两端左乘A*，右乘A ，利用基本恒等式   A A* = A*A = |A|E  得

        |A| B = A*B + 3|A|E       即  （|A|E－A*）B = 3|A|E   ，

故                  B = 3|A|((|A|E－A*)的逆)

本题中的  | A*| = |A| 的 3 次方，由已知可以算出|A|,剩下的工作主要是用初等变换求逆。

例36   设 A、B、C 都是 n 阶方阵，且满足 ABC = E ，则

（A）矩阵A不可逆       （B）CAB = E        （C）矩阵B不可逆       （D）BAC = E

分析  由已知得 |ABC|=|A||B||C|=1 ，三个方阵都满秩。（A），（C）皆错。

ABC = E  还可以解释为 AB 与C 互逆。所以（B）对。

 

3．矩阵的等价关系

定义   如果两个 m×n 阶矩阵 A 和 B 的秩相等，就称矩阵A 和B 等价。

在《线性代数》中，“向量组等价”是最复杂的关系。“矩阵等价”是最简单的关系

一个向量能否被另一组向量线性表示，本质上是一个线性方程组是否有解的问题。要讨论两个向量组是否等价，即两个向量组是否能相互线性表示，简直就繁杂得难以实行。而确定矩阵的秩，只需做初等变换就行了。

两个n 维列向量组，即便秩相等，所含向量个数相同，也不一定等价。但是，让它们各自排成一个矩阵，则两个矩阵等价。

（画外音：两个向量组的秩相等，且其中一个向量组能被另一组向量线性表示，则两个向量组等价。）

左上角是 r 阶单位矩阵 E r ，其它位置全是 0 的 m×n 阶矩阵，可以称之为“秩为 r 的 m×n 阶矩阵的标准型”。

若 矩阵A 和B 等价，则可以分别用初等变换将它们化为同一个“标准型”。由于初等阵的逆也是初等阵。所以A与B可以通过初等变换相互转换。即有

“m×n 阶矩阵A 和B 等价的充分必要条件是，存在满秩矩阵P 和Q ，使得 A = PBQ ”

（潜台词：满秩矩阵P表示一连串的行变换，而Q表示一连串的列变换。）

这就在表达形式上与方阵的“相似关系”及“合同关系”一致。在数学三的试卷上，出现过区分这些关系的选择题。