矩阵的秩是《线性代数》第一部分的核心概念。

任何有关矩阵的问题，客观上总是会与矩阵的秩或相关知识有联系。

齐次线性方程组 Ax = 0 解集自身的特点，形成了一定程度的理论知识。这是线性理论的起点。齐次线性方程组解集理论，回过头来也是讨论矩阵秩的重要工具。

1．齐次线性方程组解集理论

解齐次线性方程组 Ax = 0 的首要问题是，“方程组有非零解，还是仅有唯一的零解？”

n 个未知量 m 个方程的齐次线性方程组 Ax = 0 如果有一个非零的解向量β，则对任意实数c，向量cβ也是该方程组的解向量。进一步还可以验证  ：

“齐次线性方程组的任意有限个解向量的线性组合也是该方程组的解向量。”

（画外音：是不是解向量，代入齐次线性方程组去验算一下嘛。）

这就是说，齐次线性方程组如果有一个非零的解向量，它就有无穷多个解向量。

齐次线性方程组的全体解向量是 n 维向量空间的子集合，它对于线性运算是封闭的。因而它可以获得“向量空间”的称号。叫齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间。

设系数矩阵 A的秩为 r (A)。它表明，齐次线性方程组中最多只有 r 个方程相互独立。

一个方程可以解出一个未知量。r 个相互独立的方程只能解出 r 个未知量。方程组共有 n 个未知量，余下的n－r 个未知量只能自由地独立取值。

这 n－r 个自由未知量的每一组值，唯一地产生出一个解向量。方程组 Ax = 0 的两个不相等的解向量，必定对应着不同的两组自由未知量值。n－r 个自由未知量按照其原序排成有序组，就是 n－r  维向量。这就是说  ，齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量集合与全体 n－r 维向量成功一一对应。因此说，

“如果系数矩阵A的秩为 r (A)，则齐次线性方程组 Ax = 0 具有 n－r 维的的解空间。”

（潜台词：n 维向量空间的一个 n－r 维子空间。我们用一一对应来考查无穷集的相互关系）

通常，我们可以粗糙地说，齐次线性方程组 Ax = 0  解集的秩= n－r (A)

如果系数矩阵的秩 r (A) = n ，则齐次线性方程组只有唯一的零（零向量）解向量。

(画外音:说是“齐次线性方程组解集构造理论”。听起来吓人，其实就这么两点。它贯穿于《线性代数》教材始终。尤其在特征理论基础部分要反复运用。是考研数学年年必考的考点。很遗憾的是，多数国内本科教材并没有突出这一点。）

特别地，我们不要忘了 “齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关。”实际上，它对应着 r (A) = n ， n－r (A)= 0

例39．设非零矩阵 A 与 B 满足 AB = 0 （零矩阵），则必有

（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。

（B）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

（C）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。

（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。，

分析 A 与 B 都是非零矩阵，故  r (A)≥1 ，r (B) ≥1

AB = 0 表明 B 的每一个列向量都是方程组 Ax = 0 的解。方程组有非零解。A 的列向量组线性相关。

不知道 B 有几列，不能确定 B 的列向量组线性相关。比如，B 可以只有 1 列 。对比之下应选（A）

换一个思路，转置得 BˊAˊ = 0 ，推得 Bˊ的列，即B的行向量组线性相关。

例40  试证明矩阵 AB和B 的秩相等的充分必要条件是，方程组 ABX = 0的解都是方程组BX = 0 的解。

分析  方程组 BX = 0 的解自然也是方程组 ABX = 0 的解。两个齐次线性方程组同解。故

n－r (AB) = n－r (B)    即   r (AB) = r (B)

再证必要性。设秩 r (AB) = r (B)，则相应的两个齐次线性方程组解集的秩相等。

又因为方程组 BX = 0 的解都是方程组 ABX = 0 的解，从而方程组 BX = 0的基础解系也是方程组 ABX = 0的基础解系。故方程组 ABX = 0 的解也都是方程组 BX = 0 的解。

（画外音：本例可以与如下推理相对比：“如果两个向量组的秩相等，且其中一个向量组的每一个向量都可以由另一组向量线性表示，则这两个向量组等价。”

（潜台词：仅仅是“秩相等”，可推的信息很少很少。）

 

2．“向量法”解齐次线性方程组Ax = 0

在齐次线性方程组解集理论指导下，解齐次线性方程组Ax = 0，只需求出 “基础解系”，即 n－r (A)个解向量组成的最大无关组，其线性组合就是通解。通解中含有 n－r (A)个独立常数。

这个思路就叫“向量法”。计算程序为

（1）（用行初等变换）求系数矩阵的秩 r (A)，算出 解集的秩 = n－r (A)

（2）挑出相应的 r 个相互独立的方程。确定 n－r 个自由未知量。

（3）按照原序，逐次取 n－r 个自由未知量为 n－r 维的单位向量组，代回那 r 个方程，算得 r 个未知量的值。再返回将 n－r 维的单位向量组“延长”为（n维）解向量组。

“线性无关，延长无关”。 “延长”所得解向量组就是基础解系。

（4）写出通解。

例41   n 阶方阵 A 的秩为 n－1，且已知代数余子式 A11≠0，则齐次线性方程组 Ax = 0 的通解（？）

分析   解集的秩 = n－r (A) = 1  ，A 不满秩，|A| = 0 ，A A* = 0 ，A* 的列向量都是 A x =  0 的解

          A11≠0 ，非零解向量 ξ =（A11，A12，…… ，A1n）组成基础解系。通解 x = C ξ

例42   方阵 A 的四个行向量依次为（1，1，1，1，1），（3，2，1，1，－3），

（0，1，2，2，6），（5，4，3，3，－1），求齐次线性方程组 Ax = 0 的通解。

分析 （1）  对 A 作行初等变换

（1   1   1   1    1 ）——→（1    1     1      1     1 ）

（3   2   1   1  －3）          （0  －1  －2  －2  －6 ）

（0   1   2   2    6  ）         （0     0     0      0     0 ） 

（5   4   3   3  －1）      （0    0     0      0     0 ） 显然  r (A) = 2。 解集秩= n－r (A) = 5－2 = 3

    选同解方程组         x1+x2 = －x3－x4－x5

     x2 = －2x3－2x4－6x5

取自由未知量组 (x3，x4，x5)ˊ分别为 （1，0，0）ˊ，（0，1，0）ˊ，（0，0，1）ˊ，即 3 维的单位坐标向量组.。算得基础解系为   ξ1 =  (1,－2,1,0,0) ˊ,  ξ2  =  (1,－2,0,1,0)ˊ , ξ3  =  (5,－6,0,0,1) ˊ

（潜台词：添加了第1与第2分量。线性无关，延长无关。）

齐次线性方程组的通解为   X = C1ξ1 + C2ξ2 + C 3ξ3

 

3．可能生出的考研题目变化

求解齐次线性方程组 Ax = 0 还有不少可以出大题的变化。

（1）已知秩 r(A) 及 Ax = 0 的 k 个解，且 k＞n －r(A)，能否写出其通解？能，则给出通解。

—— 本质上是考“齐次线性方程组解集构造定理”与“求向量组的最大无关组”。

（2）已知齐次线性方程组Ax = 0 ，求其满足一定条件的解集。比如，

“求满足 x1 = x2 的解。”

—— 先求其通解，将其写成一个含 n －r(A) 个参数的向量。再令分量 x1 = x2 ，由这个方程可以解出一个参数。比如C1，代入通解，所得含  n －r(A) －1  个参数的解集。合于所求。

（3） 已知齐次线性方程组Ax = 0 ，求它的一个正交的基础解系。

——  先求一个基础解系，再用“斯密特正交化方法”处理。

（4）求两个齐次线性方程组的非零公共解。（都是n个未知量）

—— 齐次线性方程组 Ax = 0 的解集对线性运算具有封闭性，因而公共解至少是含一个独立常数的解集。

若已求得 Ax = 0 的通解，比如 x = C1ξ1 + C2ξ2 ，代入 Bx = 0 考查公共解，实际上就是考查

       B（ C1ξ1 + C2ξ2）= 0    即 （Bξ1）C1 +（Bξ2）C2 = 0   有没有非零解 (C1 , C2)

（5）两个齐次线性方程组同解的条件（都是n个未知量）

—— 如果 r(A)= r(B)，则有 n －r(A)= n －r(B)，即 Ax = 0 的解集秩等于 Bx = 0 的解集秩。这与它们是否同解没有必然联系。但是，如果两个齐次线性方程组同解，则其系数矩阵的秩一定相等。

我们把两个齐次线性方程组合并成一个，D x = 0 ，显然它和前两个方程组都同解。于是 r(D)= r(A)= r(B)

一个矩阵增加了行向量而秩不变，新添加的各个行向量必定可以由原来的那些行线性表示。

矩阵 D 既可以看成是矩阵 A 添加了 B 的各行而得到的；也可以看成是矩阵 B 添加了 A 的各行而得到的；这样一来，就有

两个齐次线性方程组（都是n个未知量）同解的充分必要条件是，两个系数矩阵的行向量组等价。

讨论线性方程组的花样真多啊。不过，核心只能是齐次线性方程组解集构造理论。