微分学研究确定性变量。概率论讨论不确定性变量，即随机变量。

随机变量取值的背后，如影随行地跟着这个值出现的概率。这样一来，不确定性过程的讨论就要复杂一些。

做某个试验，一个可能的结果称为一个“基本点”；所有可能的结果自然形成一个集合。称为样本空间。样本空间内由基本点组成的子集合称为“事件”。 “基本点”又称为“基本事件”。

在微积分中，我们把（实轴上的）点与实数视为一件事。高等微积分的第一章，讲实数集的完备性，证明全体实数与数轴上的点成一一对应。学习概率，要下意识地把“事件”与集合当一回事。

为了量化研究，人们在样本空间上建立基本点与数之间的一一对应关系，记为X或Y，…… ，称为随机变量。所谓“随机向量”，只不过是同时研究定义在样本空间上的两个或若干个随机变量。

离散型随机变量 —— 如果样本空间内只有有限个基本点，相应的随机变量只能取有限个值；或者样本空间内的基本点能与自然数集建立一一对应关系，相应的随机变量取值为一个数列；都称为离散型随机变量。

（画外音：集合理论把无穷集分为两类。一类叫可列集。其元素能与自然数集建立一一对应关系。另一类叫不可列集，其元素能与区间（0，1）建立一一对应关系。）

只要列出离散型随机变量X的全部取值及其相应的概率，即给出“分布列”，就完整地给出了一个一维的不确定性数学模型。二维情形则是用矩阵给出随机向量（X，Y）能取得的每一个随机点（x，y）及其概率。在此基础上展开讨论。从根本上说，用不着微积分知识。因而有的教材把离散型随机变量单列在前。

每作一次试验，当然只能有一个结果。这个基本点属于哪个事件，就说“该事件发生”。这可以简洁地归纳为“一点出现，事件发生”。由此可以更深刻地理解事件之间的关系。

（1）包含 —— A事件发生则B事件一定发生 。 A事件的基本点必然是B事件的基本点。A含于B，或B包含。

  概率   P(A) ≤ P(B)

（2）互斥（不相容）—— A事件发生则B事件一定不发生。 A的基本点都不属于B ，或A与B的交是空集。

   A 与 B 互斥，则概率   P(AB) = 0

互斥的特殊情形是互逆。

A 事件与 B 事件互逆 —— A与B互斥，且A与B的并集是整个样本空间。

为了方便，把 A 的逆事件记为 Aˉ ； 概率   P(A)+ P(Aˉ) = 1

（3）和事件 A + B —— 相应于集合 A 与 B 的并集。

和事件 A+B 发生的要点是“或”。或者A事件发生，或者B事件发生，或者A事件B事件同时发生。

概率   P(A+B) = P(A) + P(B)－ P(AB)

（4）积事件AB —— 相应于集合 A 与 B 的交集。

积事件AB发生的要点是“都”。 A 事件 B 事件同时发生。

“或”与“都”相互为逆。

和事件 A+B 的逆为积事件 AˉBˉ—— A 事件 B 事件都不发生。

积事件 AB  的逆为和事件 Aˉ+ Bˉ—— 或 A不发生，或 B不发生，或 A 与 B 都不发生。

（潜台词：“或”的逆是“都不”。 “都”的逆是“或不”）

可以类似讨论多个事件，乃至可列无穷多个事件的和事件与积事件。相应公式称为德·摩根法则。

（5）差事件A—B ——

A事件发生而B事件不发生。相当于A—AB，等价于积事件ABˉ          

概率 P (A－B) = P(A)－ P(AB)

（6）相互独立 —— 若对于事件A，B成立概率公式 P(AB) = P(A) P(B)，就称事件A，B相互独立。

定理  事件A，B相互独立，等价于事件Aˉ与Bˉ相互独立；等价于事件A与Bˉ相互独立；还等价于事件Aˉ与B相互独立。

三个事件A，B，C相互独立 —— 它们两两独立，且满足P(ABC) = P(A) P(B) P(C)

可以用归纳法定义n个事件相互独立。

用文氏图可以形象表示前5个在集合背景下的关系。但文氏图不能表式用概率公式定义的“相互独立”概念。

（8）加法定理

如果事件A，B互斥，显然有 P(A+B) = P(A) + P(B)，一般情况下，可以作互斥分解

A + B =（A－AB）+（B－AB）+ AB   从而    P(A+B) = P(A) + P(B)－P(AB)    

进一步有      P(A+B+C) = P(A) + P(B)+ P(C)－P(AB) － P(AC) － P(BC) + P(ABC)

…… ------------ ……- ---------------- ……

例 1  以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其逆事件Aˉ为

（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B）“甲乙两种产品均畅销”

（C）“甲种产品畅销”                          （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”

分析   A 是个积事件。“都”的逆是“或不”；应选（D）。

例2   已知事件A与B同时发生时，事件C一定发生。则

（A）P(C) ≤ P(A) + P(B) －1      （B）P(C) ≥ P(A) + P(B) －1

（C） P(C) = P(AB)                            （D）P(C)= P(A+B) 

分析  由已知得C包含AB ；故  P(C)≥P(AB) ，顺便再进一步观察

P(AB) = P(A) + P(B) －P(A+B) ≥ P(A) + P(B) －1    应选（B）。

例3   设随机事件 A ，B及其和事件 A + B 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6 ，若 Bˉ表示 B 的对立事件，那么积事件 ABˉ的概率 P(ABˉ) =   0.3  

分析    P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.1  故P(ABˉ) = P(A)－P(AB) = 0.3

或利用互斥分解  A = AB + A Bˉ，P(A) = P(AB) + P(A Bˉ) ，P(ABˉ) =  0.3

例4   若积事件AB出现的概率 P(AB) = 0，则

（A）A与B不相容  （即A与B互斥） （B）AB是不可能事件。

（C）AB未别是不可能事件。           （D）或P(A) = 0 ，或 P(B) = 0

分析  已知是概率条件，而“不相容”是用事件定义的。二者没有关系。（A）错。

 0 概率事件不一定是不可能事件。（B）错。（D）显然荒谬。   应选（C）。

例5  设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是

   （A） Aˉ与Bˉ不相容              （B）Aˉ与Bˉ相容

（C） P(AB) = P(A) P(B)             （D）P (A－B) = P(A)

分析  和事件A+B的逆为积事件 AˉBˉ  故仅当A与B构成完备事件组，即A、B互逆时，Aˉ与Bˉ才一定不相容。本题不一定能满足此条件，故（A）、（B）都错。

（C）是相互独立的定义条件，与“不相容”无关。

因为 A 与 B 不相容，即 A B = Ø ，所以 A－B = A—AB = A ，应选（D）。

例6   对于任意两事件 A 和 B ，若 A B≠Ø ，则      （A）A与B一定相互独立。

（B）A与B可能独立。  （C）B与B一定独立。     （D）A与B一定不独立。

分析  已知事件关系，而“相互独立”是用概率来定义的 ，二者没有关系。应选（B）。

（潜台词：啊，三个例题同含有一个知识点。）

 

例7  已知随机事件A，B满足条件  P(AB) = P(AˉBˉ) ，且P(A) = p ，求P(B)

分析  由已知得    P(AB) = P(AˉBˉ) = P（(A+ B)ˉ）=1－P(A+B)

即       P(AB) =1－P(A) －P(B) + P(AB)    故    P（B）= 1－P(A)

例 8  将一枚硬币独立地掷两次。记事件A1={第一次出现正面}，A2 ={第二次出现正面}，

       A3 = {正反面各出现一次}，A4 = {正面出现两次}，则事件

（A）A1 ，A2 ，A3 相互独立。     （B）A2 ，A3 ，A4  相互独立。

（C）A1 ，A2 ，A3 两两独立。     （D）A2 ，A3 ，A4  两两独立。

分析   四个事件的概率皆不为 0 ，但显然   P（A1 A2 A3）= 0 ，P(A2 A3 A4) = 0 ，故答案只能是两两独立。同理，P（A3 A4）= 0 ， A 3 与 A 4 不能相互独立。应选（C）。

例9    试证明，事件 A ，B 相互独立等价于 Aˉ与 B 相互独立。

分析  选择  P(B) = P(AB) + P(AˉB) ，若已知  P(AB) = P(A) P(B) ，则

                P (AˉB) = P(B)－P(AB) = P(B)－P(A) P(B) = P(B) (1－P(A)) = P(B)P(Aˉ)

若已知   P(AˉB) = P（B）P(Aˉ) ，同样选择   P(B) = P(AB) + P(AˉB)

P(AB) = P(B) －P(AˉB) = P(B) －P(Aˉ)P（B) = P(B)(1－P(Aˉ) ）= P(A) P(B)

（画外音：循环证明（7）中的“相互独立四等价”（条件），那是绝好的基本练习。）