如果样本空间只有有限个基本点，且每个基本事件发生的概率相同，则定义事件A发生的概率    

              P(A) = A所含基本点(有利点)数∕基本点总数

这样定义的概率称为古典概率。相应的模型称为古典概型。

经典概率模型资料浩如烟海，思维处理方法千姿百态。学习时要着眼应用，熟悉典型。

1. 抛球模型 —— 把 n 个小球等可能地投入N个（n≤N）空盒中，每个球的落点有N个结果。基本点总数为  N的 n 次方

（1） 若 A =“n个小球恰好都落在一个指定的盒中” ，则显然有 

P(A) = 1∕N的n次方

（2） 若  A =“n个小球恰好各在一个盒中” ，先取N个（n≤N）空盒中的任意 n 个盒，再考虑排序，则有利点数为   （N个中取n个的组合数）× n！

P(A) =（m个中取n个的组合数）× n！∕m的n次方

(3)   若 A =“n个小球恰好全在一个盒中” ，则有利点数为N ， 

P(A) = 1∕N的n－1次方

 (4)    若 A =“至少有两个小球在一个盒中”，则情形复杂，难以穷尽。但仔细对比，它正好是 “n个小球恰好各在一个盒中”的逆事件。

小球的分布，可以设定很多状态。有的概率很难算。用不着去钻牛角尖。要的是体会与捉摸经典概率模型的思维方式。

应用例1 —— 一间寝室住有6个学生。他们都在同一年生。求他们的生日恰好在同一个月内的概率。

分析  这就好比6个小球随机地抛到12个盒中。A =“6个小球恰好全在一个盒中”，

基本点总数为 “12的6次方”  ， P(A) = 1∕12的5次方 ≈ 0.000004

（潜台词：小小概率事件。）

应用例2 —— 历史资料统计，某地区每年夏季的13周内平均有7次暴雨灾害天气。试计算事件A =“暴雨灾害天气各在一个周内”的概率。

分析  一次暴雨就是一个小球，共有13个盒。

P(A) = （13个中取7个的组合数）× 7！∕13的7次方 ≈ 0.135

P(Aˉ) ≈ 0.865  ，Aˉ =“至少有两次暴雨灾害天气发生在同一周内”

（潜台词：真是“祸不单行”啊！）

“某公交线路有11个站。n个乘客来起点站乘车，每个乘客的下车点是随机的。如果设中途无人上车，……。”这也服从抛球模型。

“电梯公寓有11层。n个外来客从底楼乘电梯，每个乘客要到的楼层是随机的。如果设中途无人用电梯，……。”这还是服从抛球模型。比如

“‘A = 至少有两个人在同一层离开电梯’等同于‘A = 至少有两个小球在一个盒中’。”

 

2．贝努里概型

如果在重复，又相互独立的n次试验中，（“独立试验”，即试验结果互不影响。）每个试验都只有事件 A发生（成功）与不发生（失败）两个结果，且总有 P(A) = p ，就称其为贝努利试验序列，相应数学模型称为 n 重贝努利概型。

记 事件 Bk  = “n 重贝努里概型中，A 发生 k 次”，则

P(Bk) =（n个中取k个的组合数）（p的k次方）（q的n－k次方），

用随机变量X表示n重贝努里概型中的成功次数，它会有值 x = 0，1，2，---，n ；且对应有分布列      P（X= k）= b（k ；n，p）=  P(Bk)，

这个离散型随机模型叫二项分布。

换一个角度来看抛球模型的（1）。

观察小球落进指定的一个盒的概率分布，相当于向这个指定的盒抛球n次，要么抛入（成功），概率总是1∕N ；要么失败。n次抛球相互独立。可以视为一个n重贝努里概型。

记 A =“n重贝努里概型中成功n次”，则

P（A）= P(X = n) = b（n ；n，1∕N）= 1∕N的n次方

 

*例12  某公交线路共有11个站。深夜末班车有20人从起点站上车。设沿途10站再没有人上车。有人下车就停车开门，无人下车则继续行驶。设乘客下车与否相互独立。试求此客车沿途停车开门k次的概率。

分析  对于线路上一个固定的站，每个乘客下车的概率都是1∕10 ，乘客下车与否相互独立，因而是个20重贝努里概型。

P（无人下车）= b（0；20，1∕10）= (9∕10)的20次方

于是，        （记p =） P（有人下车）= 1－(9∕10)的20次方

每个站都是如此，停车开门的概率为p ；各站开门与否相互独立。这又构成一个10重贝努里概型。停车开门（成功）k次的概率为 b（k ；10 ，p），不再细表。

 

3．摸球模型与超几何分布——

袋中装有红球m个，黑球n个，从袋中随机摸出r = s+t个球，基本点总数为（m+n）个中取 r 个的组合数。记   A =“其中有s个红球，t个黑球”，则

P(A) =（m个中取s个的组合数）×（n个中取t个的组合数）∕基本点总数

如果袋中有三种或三种以上颜色的球，相应问题可以类似处理。

应用如 —— 如果平均1000件产品中有5件次品。随机抽查10件，求A =“内中恰有一件次品”的概率。

分析  基本点总数为1000个中取10个的组合数

P(A) =（995个中取9个的组合数）×（5个中取1个的组合数）∕基本点总数

≈ 0.05

例13   从0，1，2，……，9共十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：  

          A1 =“三个数字中不含0和5” ，  A2 =“三个数字中不含0或5”,A3 =“三个数字中含0但不含5

分析  只“选出”三个数字而不排序，是组合问题。把十个数字分成集合{0，5}与另外一个集合，三个概率都可以用“超几何分布”模型来计算。

基本点总数为   10取3的组合数 = 120

A1的有利点数 = 8取3的组合数   ，  P（A1）= 7/15

A2的说法应理解为包含“不含0和5”的情形。其逆事件为“必定含0和5”

有利点数 = 8取3的组合数 +（8取2的组合数）（2取1的组合数） ，P（A2）= 14/15

A3的有利点数 = 8取2的组合数   ，  P（A3）= 7/30

 

例14  从6双运动鞋中随意拿出4只，分别求   A =“其中恰有一双配对”；

B =“恰好配成两双”    ；    C =“没有两只可以配对”的概率。

分析  相当于“袋中有6种颜色的球”。基本点总数为   12取4的组合数 = 495

事件A取样中的那双鞋，是6双中的任意一双，单的分别来自余下5双中的任意两双。

A的有利点数= 6×（5取2的组合数）×2×2 = 60   P(A) = 16∕33

显然         P(B) = （6取2的组合数）∕495 = 1∕33

三个事件已穷尽了各种可能。最后有 P(C) = 1－P(A) －P(B) = 16∕33

（潜台词：不妨检验一下， 事件C的有利点数=（6取4的组合数）×2×2×2×2 ）

 

4．几何概率

如果样本空间 Ω 是某个区域（区间，平面区域或空间区域），且每个样本点出现的可能性相同，则规定A的概率为  P（A）= L（A）/ L（Ω）

其中， L ( · )分别是相应的长度，或面积，或体积。

例16  在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为_____

分析  用X和Y分别表示随机抽取的两个数，则0 < X < 1，0 < Y <1，X，Y取值的所有可能结果（即样本点全体）对应的集合是边长为1的正方形Ω，其面积为1

直线 x+y = 6/5 与单位正方形的边周交于（1，1/5）与（1/5，1）两点，分其为两块。

事件“X+Y≤6/5 ”对应着单位正方形除去以(1，1)，（1，1/5），（1/5，1）为顶点的三角形后剩余的部分。易算得A的面积即所求概率为17/25

例17   在时间间隔 内的任何瞬间 ，两个不相关的信号均等可能地进入收音机。如果两个信号当且仅当其进入收音机的时间间隔不大于  t  时，就使收音机受到干扰，求收音机受到干扰的概率。     （答案 p = 1－（1－t/T）²）

分析  用X和Y分别表示两个不相关的信号进入收音机的时间，则  0 < X < t ，0 < Y < t

“收音机受到干扰”事件可以表示为“∣X－Y∣≤  t ”，视 t 为常数，与上例为同一模型。

 

经典模型，重在熟练不在多。熟能生巧，巧在理解与应用。