在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率。

记为 P（A∣B），且定义

P（A∣B）= P(AB）∕P（B） ， P（B）＞ 0

人们通常会用两种方式来表示整体与部分的关系。或者用实在数据；或者把整体视为1，用比例来表示部分。

在可以用“文氏图”示意的情形，不太严格地说，样本空间及事件就是具体实在，相应概率就好比是“比例”描述。条件概率则是把概率P（B）作为新的总体1，计算P（AB）相对所占的“比例”。在古典概率情形，这个比方尤其直观。

若事件 A含于B ，即 AB = A ，

P（A∣B）=  P(AB）∕P(B)  = P(A)∕P(B)

若事件A与B互斥，即 AB = Φ（空集），P(AB）= 0 ， P（A∣B）= 0

若事件A与B相互独立，P(AB) = P(A) P(B) ，则 P（B）＞ 0 时

P（A∣B）= P(AB）∕P（B）= P(A) P(B) ∕P（B）=  P(A)  ，

条件概率的定义在这时正好显示，从逻辑上看，事件 A 与 B相互独立，本质上是发生与否，互不影响，彼此无关。而事件 A 与 B 互斥，却是一个特定关系。

 “两个事件能否既互斥又相互独立？”由上述可知，从逻辑上看是不可能的。从概率上看，若两个事件的概率都不为0，则也是不可能的。

在建模实践中，为了简单起见，在不少场合选择了相互独立的最佳状态。比如，射击运动员连续射击多发子弹；乒乓球运动员连续比赛若干局，……，等等；都假设各次射击，各局比赛相互独立。构成n重贝努里概型。

在实际问题中，有时能简便地直接按照实际状况算得条件概率。比如摸球模型。

袋中有20个红球10个黑球，如果每次摸出一球，然后放回去再摸第二次，若以摸出红球为成功，p = 2/3 ，各次摸球相互独立，就构成 n 重贝努里概型。如果第一次摸得红球而不放回去，第二次摸得黑球的概率就是条件概率。这时由实际数据能直接算得

P（第二次摸得黑球∣第一次摸得红球）= 10/29

P(AB）= P（第一次摸得红球，第二次摸得黑球）= P（B）P（A∣B）

= P（第一次摸得红球）·P（第二次摸得黑球∣第一次摸得红球）= 20/87

用二维模型才能更好地理解这个交事件的概率。

先后两次摸球（第一次不放回）的基本点有：（红，红），380个；（ 红，黑），200个；

（黑，红），200个；（黑，黑），90个；共计870个。

所以             P（红，黑）= 有利点数∕基本点总数 = 20/87

“随机向量事件”概率定义的内核是“交事件的概率”。可以从这里开始体验。

 

例20   A，B 是两个随机事件，且 B 发生则 A 必定发生。则下列式子中正确的是

 （A） P (A + B）= P（A）        （B）  P (AB）= P（A）

 （C） P（B∣A）= P（B）       （D）  P (B－A）= P（B）－ P（A）

分析  事件 B 发生则 A 必定发生，说明 A包含B ，而 A + B就是A ；也表明B－A是不可能事件；AB = B；故（B）（D）错。应选（A）。

（C）错，是因为此时有  P（B∣A）= P（B）∕P（A）

 

例21  已知 0＜P(B)＜1 ，且P(A1+A2∣B) = P(A1∣B) + P(A2∣B)，则有

             (A)  P(A1+A2∣Bˉ) = P(A1∣Bˉ)+ P(A2∣Bˉ)    (B)  P(A1B+A2B) = P(A1B)+ P(A2B)

             (C)  P(A1+A2) = P(A1∣B) + P(A2∣B)                  (D)  P(B) = P(A1) P(B∣A1)+ P(A2) P(B∣A2)

分析  老老实实按照条件概率的定义重写已知条件。得

P((A1+A2)B) ∕P（B）= P(A1B) ∕P（B）+ P(A2B) ∕P（B）

去分母后，刚好是（B）。即 A1B 和 A2B 互斥

 

例22  A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1 ，P(B)＞ 0，P(B∣A) = P(B∣Aˉ)

则必有   (A)   P (A∣B) = P (Aˉ∣B)          (B)   P (A∣B) ≠ P (Aˉ∣B)

(C)   P (AB）= P (A) P (B)            (D)   P (AB）≠ P (A) P (B) 

分析  首先用条件概率定义转换已知的条件概率等式

P(BA) ∕P（A）= P (B Aˉ) ∕P（Aˉ） 即  P（Aˉ）P(BA) = P（A）P(BAˉ)

即      (1－ P（A）) P(BA) = P（A）P(B Aˉ) 

移项化简，即        P (BA) = P（A）( P(BA) +  P(BAˉ) ) = P (A) P (B)

其中 ， 事件B = BA + B Aˉ 是B的互斥分解。应选（C）

（画外音：已知条件保证了事件A与B相互独立。

有这样的习题  :“ 若 0 ＜ P(A) ＜1 ，试证明事件A 与 B 相互独立的充分必要条件是  

                                    P (B∣A) = P (B∣Aˉ)  ”

事实上，上例分析中的算式是可以逆反的。）

 

例23  已知 0＜P(A)＜1 ，0＜P(B)＜1 ， P (A∣B) + P (Aˉ∣Bˉ) = 1 ，则 

  (A)   事件A和B互不相容。   （B）事件A和B互相对立。

（C）  事件A和B互不独立。   （D  事件A和B相互独立。

分析  先用条件概率定义重写已知的条件概率等式，再两端同乘以P (B) P (B ˉ), 得

P (Bˉ) P (AB)  +  P (B) P (AˉBˉ) = P (B) P (Bˉ)

因为是关于A与B的选择，故需用公式    P (Bˉ) = 1－ P（B） 

再注意到“或”的反面是“都不”，即  AˉBˉ= (A + B) ˉ P (AˉB ˉ) = P ((A + B) ˉ）= 1－P ((A + B),

概率等式进一步化为       （1－P（B））P (AB) + P (B)( 1－P (A + B)) = P (B) (1－P（B））

化减后即知                         P (AB）= P (A) P (B)    ，应选 (D)

与导数定义的运用一样，条件概率这一类含有公式的概念。要勤动手写定义式，要训练自己有一定的抽象运算推演变形能力，才能应对相关考研题目。

例24  甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为（？）

分析  记A =“甲射中”，B =“乙射中”，显然“目标被命中”应该是A+B ，所求概率为 

                P (A∣(A+B)) = P (A(A+B)) ∕ P(A+B) =  P (A)∕P(A+B)= 0.6 ∕0.8 = 0.75

例25  某机要室有两种警报系统A与B ，单独使用时，系统A有效的概率为0.9 ；系统B有效的概率为0.95 ；在系统A失灵的条件下系统B仍然有效的概率为0.85 ；求

（1）在系统B失灵的条件下系统A仍然有效的概率。

（2）两个警报系统至少有一个有效的概率。

（3）在报警状态下，系统A工作的的概率。

解  就用A，B分别表示事件“系统A有效”与“系统B有效”。则，已知即

P (B∣Aˉ) = 0.85 ，由条件概率定义得方程   P (BAˉ)∕P（Aˉ）= 0.85

注意    P (BAˉ) = P（B－A）= P (B) － P（AB） ，而P（Aˉ）= 0.1 ，代入方程得

P (B) － P（AB ）=  0.85 P（Aˉ），算得  P（AB）= 0.865

从而（1）  P（A∣Bˉ）= P (ABˉ)∕P（Bˉ）=（ P (B) － P（AB））∕P（Bˉ）= 0.7

（2）即是求 P（A + B），   P（A + B）= P（A）+ P (B) － P（AB）= 0.985

（3）即是求P (A∣(A + B）)

P (A∣(A + B）) = P（A）∕P（A + B）≈0.914

这个题目在算之外还告诉我们，如果题面没有交待，答题者通常不要自己假设“相互独立”条件。

例26   m个人抽m支签，其中有s支幸运签（如球票，入场卷等等。），其余都是空白签。人们通常会排序抽签。试证明，每个人抽到幸运签的概率与其抽签顺序无关。

分析  第1个人抽到幸运签的概率自然是 p = s / m

第2个人抽到幸运签的概率是两种情形(第1个人抽到或没抽到)下概率之和

（ s / m）((s －1) / (m－1)) + (( m －s) / m) ( s / (m－1))

= (s (s －1)+ ( m －s) s ) ∕m (m－1) = s / m

换一个视角来计算第k个人抽到幸运签的概率：m个人抽m支签的全体结果就是m支签的全排列，既总体点数为m！如果设第k个位置是一支幸运签，有s个选法。其余m－1支签作全排列与之匹配，有利点总数为s (m－1)！故

第k个人抽到幸运签的概率 p = s (m－1)！∕m！= s / m

（潜台词：哇噻！事先排好序，谁也不吃亏。）