任意一个事件 A 可以通过事件B和它的逆Bˉ作“互斥分解”：

             A = AB + ABˉ

于是，P（A）= P（A B）+ P（ABˉ）

               = P（B）P(A∣B) + P（Bˉ）P(A∣Bˉ）

可以解释为，如果有且仅有两种互斥的随机因素，分别都可以引起事件 A 发生。就可以这样运用“互斥分解”与条件概率来计算A发生的概率。当然，一个随机事件的发生，可能是由多种两两互斥的随机因素引起的。

完备事件组—— 如果 n 个事件 B1，……，B n 两两互斥，总和为全样本空间。就称其为一个完备事件组。

（画外音：高级语言称此完备事件组其为样本空间的一个“最小覆盖”。

全概率公式 ——

设有完备事件组 B1，B2，---，B n  ，则任一事件A可以有互斥分解与概率算法：

A = A B1+ A B 2 + --- + AB n   ， P(A) = P(A B1)+ P(A B2) + … + P(A B n )

 进而有        P(A) = P(B1) P(A∣B1) + P（B2）P(A∣B2）+ --- + P(B n ) P (A∣B n )

贝叶斯公式 ——

与此同时，产生了一个反问题：“如果事件 A 发生了，它是由于某个随机因素，比如 ,由 B1 的出现而发生的概率是多少？”这是条件概率 P(A B1) ∕P（A），答案自然是

 

P(A B1) ∕P（A）= P(B1) P(A∣B1) ∕(P(B2) P(A∣B2) + --- + P(B n ) P (A∣B n ))

 

例29  从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为X，再从 1，…，X 中任意取一个数，记为Y ，则 

P（Y=2）= 13/48

分析  取得 X 为四数之一的概率是 1/4 ，穷尽四种情形，用全概率公式计算。

     P（Y = 2）= 0×1/4 +（1/2）×（1/4）+（1/3）×（1/4）+（1/4）×（1/4）

例30   某地区AZ 病毒携带者统计比例为万分之一。在定点医院做专项血检时,病毒携带者检测为阳性的概率为 0.95 ，为阴性的概率为 0.05 ；正常人做此专项血检时，也有0.01 的可能呈阳性。若首次血检呈阳性，试计算受检人确为AZ病毒携带者的概率。

分析  已知 “呈阳性”或“ 呈阴性”的概率，都已经是条件概率。就此地而言，

用全概率公式得        P（专项血检呈阳性）=  0.0001×0.95 + 0.9999×0.01 = 0. 010094

用贝叶斯公式得        P（携带者∣专项血检呈阳性）= 0.0001×0.95∕0. 010094 ≈ 0.0094

（潜台词：概率很小！只要“心中无冷病”，就算首次专项血检为阳性，也不用背包袱，赶快去做第二次专项血检。）

例31  某种玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0， 1， 2只残次品的概率相应为0.8， 0.1，0.1 ；在顾客购买玻璃杯时，售货员随意取出一箱，让顾客随机地察看4只；若没有残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买下该箱的概率。 （2）在顾客买下的那箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

解    记事件  A = {顾客买下全箱玻璃杯} ；B i = {取出的箱中恰有 i 件残次品}

若取出的箱中恰有1件次品，则

P(A∣B1) = (19个取4的组合数) ∕(20个取4的组合数) = 4/5

同理          P(A∣B2) = 12/19    ，且显然有  P(A∣B0) = 1

由全概率公式  P（A）= P(B 0)P(A∣B0) + P(B 1)P(A∣B1) + P(B 2 P(A∣B2) = 0.8 + 4/50 + 12/190 ≈ 0.94

(2)    即是计算 P (B0∣A) ，不仿把贝叶斯公式的过程练一遍。

P (B0∣A) =  P (A B0) ∕P（A）= P(B 0)P(A∣B0) ∕P（A）= 0.8∕0.94 ≈ 0.85

（画外音：要注意的细节是，积事件的概率P (A B0) 有两个计算式,

P (A B0)  =  P(B 0)P(A∣B0)  =  P（A）P (B0∣A)

可以结合已知条件来选择。）

“决策树算法”——

决策树是管理科学的常用技术之一。如果用树形图来表示完备事件组和相关问题，并按图上的路径来计算。你可以更好地记忆、掌握全概率公式和贝叶斯公式，并体验到它们之间的一定的“互逆性”。

例32    设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，再从中先后抽出两份。

（1）求先抽到的一份是女生表的概率p

（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q

分析  过程复杂，有三个随机层次。如果用字母表示各事件，就太繁了。我们来作决策树：（为了简单起见，只给出第一主枝。）

   ↗再抽到男生表（p = 6/9）

    →取第一区报名表   ↗抽到男生表（p =7/10）   ↘再抽到女生表（p =3/9）

（p =1/3）

                         ↘抽到女生表（p =3/10）     ↗再抽到男生表（p =7/9）

                                                    ↘再抽到女生表（p =2/9）

→取第二区报名表   ↗  …………

（p =1/3）

…………             …………

其它两个主枝是完全类似的，只是数据不同。计算时要注意层次，穷尽所有分枝。

（1）p =（1/3）×(3/10)  + （1/3）×(7/15) + （1/3）×(5/25) = 29/30

(2)  要算q ，先要算出  P (后抽到的一份是男生表) = ？ 在第三丛上有6个分枝，

（1/3）×(7/10）×(6/9)  +（1/3）×(3/10)×(7/9)  + (1/3)×(8/15)×(7/14) +

+（1/3）×(7/15) ×(8/14) +（1/3）×(20/25)×(19/24) + (1/3)×(5/25)×(20/24)

= 61/90

上述6个分枝中，反向往左看，在第二丛上，有3个分枝的前因是“先抽到女生表”。由这三个前因而后抽到男生表的概率总计为

（1/3）×(3/10)×(7/9) + (1/3)×(7/15) ×(8/14) + (1/3)×(5/25)×(20/24) = 20/90

用贝叶斯公式得 q = (20/90) ∕(61/90) = 20/61

 

（画外音：我想起了本科时编的一句打油诗，“将因求果“全概率”，以果索因“贝叶斯”。”）