有了相关的基础理论以后，解齐次线性方程组 Ax = 0  与解线性方程组  Ax = b的工作就完全程序化了。

1．线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件

解线性方程组 Ax = b 的首要问题是，“这个方程组有解还是无解？”

在指导（40）中，我们已经提到过，

“线性方程组 A x = b有解的充分必要条件是，向量b可以被A的列向量组线性表示。”只要把系数矩阵写为列分块形式，这个结论就会一目了然。

把列向量b添加为A的末列，得到A的增广矩阵（A  b） 。如果新添加的列可以被原来的列线性表示，则新老两个矩阵的秩相等。从而又有

“线性方程组 A x = b有解的充分必要条件是，A与自己的增广矩阵秩相等。”

例55   试证明，“如果A的行向量组线性无关，则对任意一个列向量b ，线性方程组 A x = b 一定有解。”

分析  若m×n阶矩阵A的行向量组线性无关，则有 m≤n ，且A至少有一个m阶子式不为零。

A的增广矩阵只是比A多了一列，不可能产生 m + 1阶的子式。故A的增广矩阵的秩与A的秩相等。

另一方面，如果A的行向量组线性相关，则其中至少有一行可以被别的行线性表示。这时，对于齐次线性方程组Ax = 0来说，相应的那个方程是无用的。用行初等变换将此方程右端化为0，就相当于去掉了这个方程。而对于非齐次线性方程组Ax = b而言，如果b的分量之间没有相应的线性关系，就会形成矛盾。

在实际计算中，对增广矩阵（A  b）作行初等变换。上述情形就表现为，A的某一行已经化为零向量，而该行尾那个b的分量却不为0，矛盾。方程组Ax = b一定无解。

 

2．线性方程组Ax = b与其导出组Ax = 0

如果线性方程组Ax = b有解，则第二个问题是，方程组有唯一解还是无穷多个解？

在Ax = b有解时，直接验算可以得到下列结论

（1）除非系数之和为1，Ax = b的有限个解的线性组合都不再是Ax = b的解。

（画外音：这样一来，我们不用去过细地讨论线性方程组Ax = b的解集。只须在有解时搞清楚，是有唯一解还是有无穷多个解。并在有无穷多个解时求出其通解。

（2）Ax = b的一个解加上Ax = 0的一个解，和向量是Ax = b的解。

（3）Ax = b的两个解相减，差向量是Ax = 0的解。

由此进一步有：

“若Ax = b有解，且Ax = 0有非零解，则Ax = b必定有无穷多个解。”

“在Ax = b有解的前题下，有唯一解的充分必要条件是，A的列向量组线性无关。

或，相应的导出组Ax = 0仅有0解。”

“若Ax = b有解，则 通解 x = （Ax = 0的通解）+自己的一个特解x* ”

 

3．解线性方程组Ax = b的程序

（1）对增广矩阵（A  b）作行初等变换。把A化为上三角阵，判断是否有解。

（2）若Ax = b有解，则计算   （Ax = 0的解集的秩） = n － r(A)

（3）把n － r (A)个自由未知量逐次取为n － r (A)维向量的标准正交组。代回齐次线性方程组Ax = 0，解出另外r(A)个未知量，添入单位正交组，得到基础解系。

（4）把n － r (A)个自由未知量全取为0，代入Ax = b，算得特解x*

（5）“组装”线性方程组Ax = b的通解。

 

例56  设 A 的行向量依次为 (1，1，a），（1，a，1），（a，1，1），b = (1，1，－2) ˊ，已知线性方程组Ax = b有解但不唯一，求数a的值

分析  对增广矩阵（A  b）作行初等变换得上三角阵的三个行向量及变换后的b

(1  1  a   1 ）         （1     1             a                     1    ）

（A  b）=（1  a  1   1 ）  —→  ( 0   a－1     1－ a               0    )

（a  1  1  －2）        （0    0      (1－ a) (2+ a )   －2－a  )

三个未知量三个方程的方程组，Ax = b 有解但不唯一，（相应的导出组Ax = 0有非零解。）行列式|A|必为0，由此解得  a = 1  或 －2

如果a = 1 ，显然 ，秩 r(A)= 1  而  r((A  b))=2 , 与已知方程组有解矛盾。

只有     a = －2

(画外音：a = 1时，上三角阵的第三行是零向量，而 b 的第三分量是－3 ，方程矛盾。这道题的外加特色是，确定参数解方程，有的根不合题意。)

例57   设四元线性方程组 Ax = b 的系数矩阵A的秩为3，又已知它的三个解向量满足

ξ1 =（2，3，4，5）ˊ，ξ2 + ξ3 =（1，2，3，4）ˊ，写出它的通解

分析   Ax = 0的解集的秩 = 4－3 = 1       （潜台词：一个非零解就构成基础解系。

    （ξ2 + ξ3）/2 = （1，2，3，4）ˊ/2    是原方程组Ax = b的解。

   η = ξ1－（ξ2 + ξ3）/2 = （3/2，2，5/2，3）ˊ是相应齐次组的解

原方程组有通解 x = cη + ξ1

例58  已知方阵A =（a1，a 2，a3，a 4），且a 2，a3，a 4 线性无关，a1 = 2a 2－a3 ，

若向量 β = a1 + a 2 + a3 + a 4 ，求线性方程组Ax =β的通解。

分析    已知条件表明 秩r(A) = 3 ，且（1，1，1，1）ˊ就是Ax =β的特解

          Ax = 0   的解集的秩 = 4－3 = 1      （潜台词：一个非零解就构成基础解系。）

          a1 = 2a 2－a3    即  a1 －2a 2 + a3 = 0 表明（1，－2，1，0）ˊ是Ax = 0的解。

原方程组有通解 x  =  c（1，－2，1，0）ˊ+（1，1，1，1）ˊ

例59  设向量β满足 Aβ= b ，b≠0 ，而ξ1，ξ2，……，ξn- r 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系，试证（1）向量组 β，ξ1，ξ2，……，ξn- r 线性无关

（2）向量组 β，β+ξ1，β+ξ2，……，β+ξn- r 线性无关。

证明  选较复杂的（2）来示范。

（2）设有n- r+1个数，C，C1，C2，……，C n- r  使得

Cβ+ C1（β+ξ1）+ C2（β+ξ2）+ …… + C n- r（β+ξn- r）= 0

即      C1ξ1+ C2ξ2+ …… + C n- rξn- r + （C+ C1+……+ C n- r）β= 0

等式两端都左乘以矩阵A ，利用已知得      （C+ C1+……+ C n- r）b = 0

已知 b 非零向量，只有数     C+ C1+……+ C n- r = 0

代入前式后，由基础解系的线性无关性得    C1 = C2 = …… = C n- r = 0

再返回算出 C = 0 ，即知（2）中的向量组线性无关。

 

考研试题中还有不少“讨论Ax = b的可解性确定参数，有无穷多解时写出通解”之类的题。只要按程序办事，初等变换仔细，应该易得全分。