通常说“分布”，或“概率分布”，是泛指随机模型。说分布列，分布密度，或说分布函数，才是指特定的数学概念。

常用的分布有五个。即二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布，正态分布。它们好比《微积分》中的基本初等函数。要尽可能地熟练掌握它们各自的特点及算法。

1． 二项分布 —— 在n 重贝努利概型中，用随机变量X表示n次试验中事件A发生（成功）的次数，称X服从参数为 n，p 的二项分布。记为  X ~ B (n, p)；X的分布列为

P(x k ) = b（k ；n，p）

      =（n个中取k个的组合数）（p的k次方）（q的n－k次方）

当 k = [(n + 1)p]（即不超过（n + 1)p 的最大整数）时，P(x k) 为分布列的最大值。又称为二项分布的中心项，称 [(n + 1)p] 为事件A 最可能出现的次数。

随机变量X 服从二项分布时，     E (X) = n p ，D(X) = n p(1－p) = n p q

例46   设随机变量X的概率密度为  0＜x＜1时，f (x) = 2x ；其它处 f (x) = 0   ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中，事件{ x≤0.5}出现的次数，则 P(Y=2) = ?

分析  三次独立重复观察，要么事件{ x≤0.5}出现，要么不出现，三重贝努里概型。

利用X 的概率密度算得        P（{ x≤0.5}）= F（0.5）=1/4

                             P(Y=2) = 3（1/4）²（3/4）= 9/64

例47   有10个工人间歇性地使用电力。且在任一时刻每个工人以同样的概率 0.4 需要一个单位的电量。设各个工人相互独立地工作，求在同一时刻有8个或8个以上工人需要供应一个单位电量的概率，并求在同一时刻需要供电的概率最大的工人数。

分析  设X 为在同一时刻需要供电的工人数，X 服从二项分布。

(潜台词：同一时刻，一个工人用电与否好比“一次试验”。或“是”或“否”， “是”的概率为0.4 ) 。

即       X ~ B (10 ,  0.4 ) ，所求概率为  P (X≥8) = 0.01326

其次， [(n + 1) p] = [4.4] = 4 ，即同一时刻可能有4个工人需要供电的概率最大。

（画外音：这是一个相对比较，显示二项分布的一个特点，而不是一个优化结论。即不能认为我们只供4个单位电量就行了。）

 

2．泊松（Poisson）分布 ——若随机变量X的所有可能取值为0，1，2， … ，且有分布列

   P(x k ) = P（X = k）=（λ的k次方）exp（－λ）∕k！

其中λ > 0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。记为  X ~ P (λ)

随机变量X服从泊松分布时，      E (X) = λ  ，D (X) = λ

泊松分布有可列无穷多个质点。讨论泊松分布有时需要级数知识。在考研题目中出现较少。但是它有重要的实际意义。在大数量试验中，稀有事件出现频数k的概率分布，其数学模型就是泊松分布。比如，

多枝枪一起对空射击，击中飞机的子弹数； 细纱车间里，纱锭的纱线被扯断的次数；

大量螺钉中，不合格品出现的次数；       一面书页中，可能出现的照排错误个数；

一个大群体中，生日正好是元旦的人数；   数字通讯中，数字传输时发生误码的个数

 

3．均匀分布 —— 若随机变量X的密度函数为

a＜x＜b 时 ， f (x) = 1∕(b－a)  ，其它点处  f (x) = 0

则称X在区间（a, b）上服从均匀分布 ，记为 X ~ R (a, b)

随机变量X服从（a, b）上的均匀分布时，   E (X) = （a + b）/ 2   ；D (X) =（b－a）平方/ 12

均匀分布实际上是几何概率模型。由于其密度函数简单而特别，它常常出现在二维随机向量的考题中。以便在有界区域上计算二重积分。

例48    观光电梯于每个整点的第5分钟，第25分钟，第55分钟从底层起行。设一游客在早上8点 与 9点间的第X分钟到达底层候梯处，X 在 [0，60] 上服从均匀分布，求游客等候时间的数学期望。

分析  等候时间Y 是X 的函数，要先建立Y的数学模型。

在时间间隔（0，5）内，游客等候 Y = 5－x（分钟）；在时间间隔（5，25），（25，55），（55，60）内，游客要相应等候 Y = 25－x（分钟），55－x（分钟）；65－x（分钟），

连续型随机变量X的函数Y的数学期望 = y（x）/60在全直线积分

y（x）是（0，60）上的分段函数，分段积分。   答案 E（Y）= 11.67（分钟）

 

4．指数分布 —— 若随机变量X的密度函数为

x＞0时 ，f (x) = λexp（－λx） ，其它点处  f (x) = 0

其中，λ > 0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为  X ~ E (λ)  或  X ~ e (λ)

随机变量X服从指数分布时，  E (X) =1 / λ ，D(X) = 1 / λ²

*例49  某设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N (t) 服从参数为 λ t 的泊松分布。

（1）求相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；

（2）求该设备在已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率q

分析  类似于分布函数法，我们先求 T 的分布函数。

 (1)  设一次故障刚处理完，设备开始工作, 到再次发生故障的时间即为 T ，

对任一 t < 0 ，由于 T 非负，故 F(t ) = 0 ，密度函数  f（t）= F′(t) = 0

对任一 t≥0 ，  F（t）= P (T≤t) = 1－P(T ＞t)， （潜台词：任给一点，视为常数。）

“T ＞t” 意味着长为 t 的时间内无故障， N (t) = 0 ，即事件{T > t}与{N (t) = 0}等价。而由已知可算得     P ( N (t) = 0) = exp(－λt)       ( 注意：0 ! 被规定为1 )

于是，对任一 t≥0 ，F（t）= 1－ exp(－λt)  ， 密度函数 f（t）= λexp(－λt)

即 T 服从参数为 λ 的指数分布。

（画外音：不要去想，“T ＞t”，究竟大多少。认为“事件{T > t}与{N (t) = 0}等价。”是遵循最可靠原则。）

（2）“已经无故障工作8小时”即 T＞8 ；“再无故障运行8小时”即 T≥16

事件{T > 8} 与 {N (8) = 0} 等价。   P（T ＞8）= exp(－8λ) 。

事件{ T≥16} 与 {N (16 ) = 0}等价。

q = P（T≥16∣T＞8）= P（T≥16）∕P（T ＞8）= exp(－8λ) = P（T ＞8）

（潜台词：事件{ T≥16} 与 { T ＞8} 的交当然是 { T≥16} 。）

人们戏称这个事实为“指数分布，永远年轻。”

 

5．正态分布 —— 若随机变量X的密度函数为

f (x) = (σ√(2π))ˉ¹exp(－(x－μ)² / 2σ²）)    ，   

其中，μ ，σ > 0为常数，则称X服从参数为μ ，σ² 的正态分布。记为  X ~ N (μ ，σ²)

随机变量X服从正态分布时  ，    E (X) = μ ，D (X) = σ² ，

正态分布的密度函数f (x) 的图形关于直线 x = μ 对称。即  F (μ) =1/2

由于函数exp（－x²）（黎曼）不可积。即它没有初等形式的原函数。因而“正态分布的密度函数f (x)在实轴上积分为1”， 有时作为已知条件，用来计算无穷积分。

当 μ = 0，σ = 1时，称X服从标准正态分布，即X ~ N (0, 1)，且特别把X的密度函数记为φ (x) ，即

                    φ (x) = (√(2π))ˉ¹ exp(－x²/ 2)       

相应的分布函数记为Φ (x)。有Φ (x)的数值表供具体查用。

φ (x)的图形关于y轴对称 ，Φ (0) =1 / 2 ；且对任意x 0显然有  Φ(x0) = 1－Φ(－x0)

（潜台词：设x 0 ＞0，则分布在x 0右侧的概率质量等于分布在－x 0左侧的概率质量。）

 

随机变量X 以0.997的概率落入区间（－3， 3）内。

一般情况下，如果随机变量X ~ N (μ，σ平方)，用变量代换 U =（X－μ）/σ 规范化 ,

则随机变量U服从标准正态分布。就可以查表计算相应概率。比如

P(x1＜X＜x2) = P (（x1－μ）/σ ＜（X－μ）/σ ＜（x2－μ）/σ)

= Φ（（x2－μ）/σ) －Φ（（x1－μ）/σ)

经验表明，如果一个随机变量受多个微小的，独立的随机因素影响，而每一个因素的影响度又都很小，那这个随机变量就服从正态分布。

比如，测量误差；人的身高；材料的疲劳应力；标准数量物件或包装物的实有数量；… 等。

例50    设随机变量 X 服从正态分布N ( μ ，σ ²)，则概率 P(∣X－μ∣＜σ) 随 σ 的增大而    

          （A）单调增大    （B）单调减小    （C）保持不变    （D）增减不定

分析    回答这类问题，先用变量代换 U =（X－μ）/σ 规范化。应选（C）

（潜台词：服从正态分布的随机变量，其1σ区间的置信度当然都一样。）

例51  随机变量X 服从均值为 2，方差为 σ ² 的正态分布，且 P(2＜X＜4) = 0.3，则 P (X＜0) = ?

分析   X 为连续型随机变量，其密度函数关于X = 2为对称。故 P(X＜2) = 0.5

P(X＜0) = 0.5－P(0＜X＜2) = 0.5－P(2＜X＜4) = 0.2