常用分布这部分内容含有泊松定理和棣莫弗—拉普拉斯定理。这两个定理分别在不同的条件下，阐述 n 趋于∞时 ，二项分布的极限状态。描述二项分布与泊松分布，二项分布与正态分布的深层次联系。

    （1） 泊松定理  —— n 为自然数，记 n 重贝努利试验中，事件A在每次试验出现的概率为 p n ，n 趋于∞时，若 lim n p n  = λ，则对任意确定的非负整数 k ，有

     n 趋于∞时，lim b（k ；n，pn ）

                  =（λ的k次方）exp（－λ）∕k！

(2)  棣莫弗—拉普拉斯定理 ——

 若随机变量 X n  ~  B (n, p) ，n = 1，2，--- ；记随机变量

              U =（X n－n p）/√(npq)  

则对任意实数x ，有   n 趋于∞时 ，lim P（U≤x）= Φ (x)

 ( 画外音：实际上, U =（X n－E (X n)）/√D(X n)，是X n的规范化。)

要较为深刻地理解极限的任何一个应用，往往都离不开极限的“ε—δ语言”。但这正好是非数学专业学生很难掌握的知识。也是大学数学教学大纲不要求的内容。因而这两个定理，尤其是泊松定理，既不好学，也难以讲。但是，如果立足于应用去学，就能较好地接受其知识内函。也能较好地对付相关研考试题。

如果n 重贝努利试验的重数n 很大，而每次试验中事件A发生的概率p 很小时，就可以利用泊松分布来近似二项分布。即，

把这个贝努利试验视为虚拟的，满足泊松定理条件的贝努利试验序列中，n值“充分大”的一个。

令 n p ≈ λ ，取近似值

                               P(x k ) = b（k ；n，p）≈（λ的k次方）exp（－λ）∕k！

通常情况下，只要 p < 0.1，这种近似是相当好的。

一般情况下，可以应用棣莫弗一拉普拉斯定理，用标准正态分布来逼近二项分布。即，

若随机变量 X  ~  B (n , p) ，当贝努利试验的次数n很大时，取X 的规范化U的分布函数值  F（x）≈ Φ (x)

（画外音：为什么花这么大力气逼近二项分布？它的应用很广，但要计算它的分布列，太繁了。）

例54  假设测量的随机误差X ~ N (0，10 ² ) ，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率 α ，并利用泊松分布求出 α 的近似值。（要求小数点后取两位有效数字。）实数λ与相应的函数值exp（－λ）附表如下

             λ        1       2      3     4      5      6     7        …

exp（－λ） 0.368  0.135  0.50  0.018  0.007  0.002  0.001     …

分析  首先用规范化算出每一次测量中，事件A = {| X | >19.6} 发生的概率p

p = P (∣X∣＞19.6) = P (∣X∣/10)＞1.96 )  

= 2 (1－Φ(1.96)) ≈ 2 (1－Φ(2)) ≈ 0.05

100次独立重复试验，每次只观察事件A是否发生。这是100重贝努利试验。

记Υ为事件A发生的次数。则随机变量Y 服从参数 n = 100，p = 0.05的二项分布，所求概率为

        α = P（Y≥3）=1－b（0 ；100，p）－b（1 ；100，p）－b（2 ；100，p）

由泊松定理，Y近似服从参数为 λ≈ np = 5 的泊松分布，查附表

         α ≈1－exp（－λ）－5 exp（－λ）－（25/2）exp（－λ）≈ 0.87

例55  某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数

（1）写出X的概率分布；

（2）用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率。

[附表]  设Φ (x)是标准正态分布函数

x             0      0.5     1.0      1.5        2.0      2.5       3.0

Φ (x)   0.500   0.692   0.841   0.933    0.977   0.994    0.999

分析  随意抽查一个索赔户相当于一次独立实验，该户是被盗索赔户的概率为0.2，因而可以判定

             X  ~ B (100，0.2)，且 E (X) = np = 20   ，D (X) = npq = 16

（潜台词：“统计概率”，把“索赔户中被盗索赔户占20%”视为“每个索赔户可能是被盗索赔户”的概率为0.2 ）

规范化U =（X－E (X )）/√D(X ) = （X－20）/ 4

用棣莫佛—拉普拉斯定理得         P(14≤X≤30) = P(－1.5≤(X－20)/ 4 ≤2.5 )

                          ≈ Φ (2.5) －Φ (－1.5)= Φ (2.5) + Φ (1.5)－1= 0.927

*例56 某厂有200台车床，每台车床的开工率仅为0.1，设每台车床是否开工相互独立。又假定每台车床开工时需要50kW电力，试问：供电局至少应该提供该厂多大电力，才能以不低于99.9%的概率保证该厂不致因为供电不足而影响生产。

分析  “每台车床开工与否”视为一次独立实验，开工的概率为 0.1

设开工的车床台数为X ， X服从二项分布，即 X  ~ B (200，0.1)

        np = 20 ，npq = 18   ，  规范化U =（X －E (X )）/√D(X ) = （X－20）/ 3√2

如果 k 是自然数，能有 P(X≤k) ≥0.999 ，则供电局应该提供的电力就是50k (kW)。

P(X≤k) = P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2 ) +  … + P (X=k)

用棣莫弗—拉普拉斯定理得

P(X≤k) = P (（X－20)/3√2）≤（k－20)/3√2)

≈ Φ (（k－20)/3√2)

列方程       Φ (（k－20)/3√2) = 0.999

由于  Φ (3) = 0.999 ，（实际上 Φ (3) = 0.997+（1－0.997）/ 2 = 0.9985 ）

令        （k－20)/3√2 = 3  ， 故  k = 20 + 9√2 ≈ 32.78

应取 k = 33 ，即供电局应该提供1650 ( kW)电力。

上述三例显示了考研数学的一类典型题目。

 

对于中心极限定理及大数定律等，最好也象这样通过应用或应用背景来理解。这里还可以说说贝努里大数定律。

贝努里大数定律 —— 设在n重贝努里试验中，事件A发生了k (n)次，p为A在每次试验中发生的概率。则对任意数ε > 0，有

n 趋于∞时 ， lim  P (∣(k (n) ∕ n) －p∣＜ε ) = 1

这个定理既涉及“ε—δ语言”，又是 “依概率1收敛”。极其难懂。能结合一个实例来理解其意就好一点。

比如，掷硬币。掷一次是一个独立试验。出现分值面的概率当然是 1/2 。掷 n 次算一个 n 重贝努里试验。如果分值共出现 k (n) 次，则频数为 k (n) ∕ n ；不同的 n 次掷硬币所得的频数通常会各不相同。但是尽量增大掷币次数 n ，就可以看到，频数  k (n) ∕ n 与1/2 越来越接近。几乎是必然的事。

 

学习效果体现在理解。讲究学习方法就是努力设法帮助自己理解。