函数在一点连续，隐含函数在此点邻近有定义。

函数在一点可导，则函数必定在此点连续。“可导”条件强于“连续”。

函数在一点连续的充分必要条件是，（以此点为参照。）当Δx 趋于0 时 必有Δ y 趋于0

若函数 f (x) 在某区间内有定义，且对区间内任意两点 x1 ，x2 总有

∣f (x1)－f (x2) ∣≤ C∣x1－x2 ∣，C为常数

就称函数 f (x) 在该区间内满足里普希兹条件。

此时，若任选区间内一点为中心点，自然有

∣Δ y∣≤ C∣Δx ∣

（潜台词：函数增量被自变量增量所控制。）

这就表明，函数 f (x) 必定连续。“里普希兹条件”强于“连续”。

但是，进一步只能有 ∣Δ y / Δx∣≤ C  ，有界不一定有极限。满足里普希兹条件，不能说明函数可导。

若函数 f (x) 在某区间内可导，且导数有界，∣fˊ(x) ∣≤ M

则对区间内任意两点 x1、x2 ，总可以运用拉格郎日公式得

∣f (x1)－f (x2) ∣=∣fˊ(ξ)∣∣x1－x2 ∣，ξ在 x1与 x2 之间

于是   ∣f (x1)－f (x2) ∣≤ M∣x1－x2 ∣，即函数 f (x) 在该区间内满足里普希兹条件。

综合上述，有

“可导”条件强于“里普希兹条件”， “里普希兹条件”强于“连续”。

有趣的是，函数 f (x) 可不可能在某区间内满足下述条件呢？

"对区间内任意两点x1 ，x2总有

∣f (x1)－f (x2) ∣≤ C∣x1－x2 ∣的（1+α）次方  ， C，α都是正常数"

此时，若任选区间内一点x0为中心点，自然有

∣Δ y∣≤ C∣Δx∣的（1+α）次方 ，即  ∣Δ y / Δx∣≤ C∣Δx∣的α次方

令Δx趋于0 ，可得  ∣fˊ(x0)∣= 0

由点x0的任意性知，在某区间内 ∣fˊ(x)∣≡ 0，即 fˊ(x)≡ 0，f (x) 必为常函数。

逆向思维，这个条件太苛刻了。一般函数都不能满足它。

一元微积分讲究条件，基本条件要记得准确。