讲座（85）.一二三四起统计

讲座（86）参数估计讲“质量”

讲座（87）.区间估计较粗糙

讲座（88）.假设检验学一点

四讲相连，用PDF格式贴上了考研加油站《论坛》。

在实践中，人们往往可能凭经验知道随机变量 X 服从某一分布。只要确定了相关参数，就建立了具体的数学模型。人们为此提取样本，设计一些方法，用样本值去计算参数的近似值。从理论上说，是将参数表示为样本（X 1 , …, X n ）的函数。这就是统计量的背景。这个过程称为“模型校正”。

将样本（X 1, …, X n ）视为 n 维随机向量。每一个统计量都是一个 n 元函数型的一维随机变量。“随机向量”意在“交”。 样本的“独立同分布”特点，很大程度上确保了相关讨论简化可行。

1．三个“标准”评价统计量

“三σ定律”告诉我们，任意一个随机变量X ，只要期望与方差存在，就会以不低于0.89的概率落入区间（μ－3σ，μ+ 3σ）内。即随机变量集中分布在期望值μ的邻近。

如果一个参数统计量的期望正好就是这个参数，那就说明这个统计量总是在它邻近。近似程度是较好的。所以“无偏性”是评价统计量的第一个标准。

“三σ定律”还告诉我们，方差越小，区间（μ－3σ，μ+ 3σ）越短，该随机变量就分布得越集中。这样一来，如果一个参数有多个“无偏估计”，当然方差最小的那个最好。（最“有效”！）所以“有效性”是评价统计量的第二个标准。

“如果 n 趋于无穷时，参数统计量（起码是个渐近无偏估计。）的方差趋于0 ，则称此参数统计量是其“相合估计”或“一致估计”。我给大家推荐这个判断定理。结合“三σ定律”，我们可以体会第三个标准“相合性”的含意。至少可以想到，理论上我们总可以将样本量取得一定大以后，使区间（μ－3σ，μ+ 3σ）的长度小于我们的设想值。即控制参数统计量的精度。

2．只学了正态总体的参数估计与讨论

要重视“规范化”表达式（X－μ）/σ，并运用它来帮助自己记忆。一般正态分布的“规范化”变量服从标准正态分布。在运用最小二乘法时，只要样本数据较大，往往都用“规范化”变换（X－μ）/σ来调整数据。

要讨论及利用一个统计量，需要知道它的数学模型。但这往往是十分困难的，甚至是做不到的。幸运的是，对于正态总体，我们找到了与样本均值及 样本方差相关的三个统计分布。

我们所学的一点统计知识，自然只能是正态总体的参数估计与讨论。

3．概率是一种观念

概率是一种观念。行为科学理论学者总结说，东方人和西方人在认知方面的基本差别有两点。其一就是 ，西方人普遍注重统计分析数据，而绝大多数国人的基本信条则是“眼见为实，耳听为虚。”

我们的电视上，一幕幕的药品，减肥，健身，隆胸，…… 真人秀。要你眼见为实，令你烦不胜烦。以感觉为行为基点极易上当受骗。这样的思维习惯对于我们理解概率问题自然也会有一些障碍。

假设检验的基点是，认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会发生。我下举一例说明其观念含意。

经统计，药物A对某种疾病的治愈率为0.8，本来是一个统计数据，但作为统计概率，应认为每个患者能治愈的概率为0.8 。如果我们要经检验才决定是否接受这个结论，是否是治疗10个人必须有8人全愈才接受呢？

实际上，这是一个概率为 0.8（治愈）的10 重贝努里概型。设治愈人数为 k   ，经过计算， P（k ≥ 6）= 0.97  ，即“治愈少于6人”是小概率事件。如果治愈不到6人，我们拒绝；如果最少治愈6人，我们也该接受“治愈率为0.8” 。

（画外音：你的想法如何？）

“一二三四起统计”，“平方关系算方差”。还是那句老话，“要玩好游戏吗？你总得把游戏规则搞得滚瓜滥熟。”