线性方程组 Ax = b 与齐次线性方程组 Ax = 0 ，同是方程组，意义却大不相同。

齐次线性方程组Ax = 0如果有一个非零的解向量，它就有无穷多个解向量。全体解向量对于线性运算封闭。成功n维向量空间的一个 n－r 维子空间。

（通常，我们可以粗糙地说:

齐次线性方程组 Ax = 0 解集的秩 = n－r (A) ）

“齐次线性方程组解集构造理论”，是线性理论的起点与基石之一。其应用贯穿于《线性代数》教材始终。尤其在特征理论基础部分要反复运用。是考研数学年年必考的考点。

线性方程组 Ax = b 的基本问题是，“有解还是无解？”“什么条件下有唯一解或无穷多解？”“有无穷多解时，如何构造通解？”

但是，线性方程组 Ax = b 有无穷多解时，解集对于线性运算不封闭。因而不再有进一步的理论意义。

不过，有两个习题可以让我们把问题彻底搞明白。

习题1   设向量β 满足 Aβ= b ，b≠0 ，而ξ1，ξ2，……，ξn- r 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则向量组 β，β+ξ1，β+ξ2，……，β+ξn- r 线性无关。

证明是标准程序化的。“设有数组……，使得……，整理得……，两边同左乘以矩阵A，……

（潜台词：这是线性方程组 AX= b 的 n－r +1 个解。）

习题2  ……。线性方程组 AX= b 的任一解 X ，必可以由题 1 中的线性无关组线性表出。

实际上，我们可以有 AX= b 的通解

X =β+ C1ξ1 + C2ξ2 + …… + C n- rξn- r

当然可以猜想   X = Cβ+ C1（β+ξ1）+ C2（β+ξ2）+ …… + C n- r（β+ξn- r）

观察即知，只需取   C = 1-（C1 + C2 + …… + C n- r）

这两个结论说明，线性方程组 Ax = b 有无穷多解时，解集的秩为 n－r +1

再有一习题配合，问题就很清晰了

习题3  线性方程组 Ax = b 有无穷多解时，其有限个解的线性组合仍然是解的充分必要条件是，线性组合式中各系数总和为 1

证明是平凡的。