C大第七次党代会会场庄严肃穆，“大”书记正在作工作报告。这个报告几上几下，反复修改了好几次。基本匡架与要点我都熟悉。不知不觉就有点走神。这边一松，那边的定向思维问题就来了。

         “矩阵的秩与向量组的秩一致。矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。” 怎样证明？

         书丢了很久，一下子要祥细证明，曾经短暂地思考过两次，竟然没通。

         设矩阵A 的秩为 r ，则 A必有一个 r 阶子式不为 0 ，而所有 r + 1 阶子式全为 0

          逻辑1 ——  r 阶子式不为 0 ，则 r 个 r 维向量线性无关。

         分析  这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。

       （画外音：r 个未知量 r 个方程的齐次线性方程组仅有0解的充分必要条件是其系数行列式不为0）

          逻辑思维链 ——这 r 个 r 维向量与 A 的行（或列）向量组有何关系？

          逻辑2 ——（“线性无关，延长无关。”定理）—— 已知一个 n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的 n + 1 维向量组也线性无关。

         分析   不妨认为给线性无关的 n 维向量组 a1，a 2，…，a k 每个向量都加上第 n + 1个分量，形成一个 n + 1 维向量组b1 ，b 2，…，b k

         若有一组不全为零的数 c1，c2，…，c k ，使得  c1b1+ c2b 2 + …+ c k b k = 0  ，如何证明“这组常数只能全为0”？

          每个向量有n + 1分量，“向量的线性组合为 0 ” 实际上是 n + 1个等式。前 n 个等式即

                     c1 a1+ c2a2+ …+ c ka k = 0

           由已知线性无关即得，这组常数只能全为 0 ，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。

           逻辑3 ——将线性无关的 r 个 r 维向量，逐次延长为矩阵 A 的 r 个行向量（或列向量），它们线性无关。

         （潜台词：简而言之，不为 0 的 r 阶子式所在的 r 个行向量（或列向量）线性无关。）

            逻辑思维链（关键问题）——这 r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？

            唯一信息——A的所有 r + 1 阶子式全为 0

            分析  不妨设不为 0 的 r 阶子式就由这 r 个行的左起前 r 个分量排成。（画外音：画个示意图最好。）

任取A 的一行，其左起前 r 个分量形成的 r 维向量，必定可以被 r 阶子式的 r 个行线性表示。  

                            记为     β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r

把式中各个向量，增加入第 r+ 1 个分量，这个表达式对 r+1 维向量还成立吗？

         （潜台词：增加入第 r+ 1 个分量，讨论的背景是一个 r + 1 阶子式。r + 1 阶子式为 0 ，

r + 1 个 r + 1 维向量线性相关。 β 所在的那行，可以被另 r 行线性表示。问题就在于，和增加一个分量之前对比，“系数变还是没变”。）

            实际上，这 r + 1 个 r + 1 维向量，排成 A 的 r + 1 阶子式。是那个不为0 的 r 阶子式的“加边行列式”。其值为 0

            对这个 r + 1 阶子式作试算变形，设法利用 r 维向量  β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r

            把第一行乘以 − c1 ，第二行乘以  −c2 ，第r 行乘以 − c r ，全都加到第 r+ 1行。则第 r+ 1行的前r个分量都变为0，设此时 第 r+ 1行的第 r+ 1个分量为c ，

             按第 r + 1 行来展开 r + 1 阶子式得方程：     (左上r 阶子式）c = 0， 只有c = 0

             这就表明，增加入第 r+ 1个分量，  β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r  还是成立。

            添加的第 r+ 1列，自然可以随意换为第 r+ 2个分量那列，或第 r+3个分量那列，……，讨论过程与结论都一样。即，线性组合关系存在，组合系数始终不变。

            这样一来，A 的任意一行，都能被 r 阶子式所在的 r 个行线性表示。A的秩就是其行（或列）向量组的秩。

            矩阵的秩与向量组的秩一致。求向量组的秩，排成一个矩阵，作初等变换求矩阵的秩。

            想通了。有意思，很愉快。