矩阵集合上定义了乘法。以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。但它是不可交换的。即，通常有    AB ≠ BA，那怕在 n 阶方阵子集中也这样。

         矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）。即在可乘的条件下，AE = A 或 BE = B，E 在乘法中的作用，就象数 1 那样。

若n 阶方阵A 满秩，它就应该有逆元。即“右逆”AB = E  或“左逆”CA = E

         由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。但是《线性代数》中，满秩方阵 A 的逆阵 B 的定义就是

                      AB = BA = E

        之所以有这个特殊性，原因在于A 有伴随阵 A*

         基本恒等式       A*A  =  A A* =|A| E

         在A满秩时，它告诉我们，A* /|A| ，就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩阵相等的定义，满秩方阵 A 的逆阵唯一。

        有趣的是，如果n 阶方阵A的“列向量组”是标准正交组（单位正交组），则A′A = E

         你只能先说 A′ 是A的“左逆”。 A′ 的行，就是A的列。左行右列作内积，恰好用上已知条件。但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。A A′ = E

          这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。

         同样，如果 n 阶方阵A的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。

         实际上，很简单，A A′ = E，则 |A|=±1

         满秩方阵A的的逆阵唯一，A′ = ±A*

         只有两类正交阵 —— 要么 A 的每一元就等于自己的代数余子式，要么 A 的每一元等于自己的代数余子式的相反数。

         另有一个应用逆阵唯一性的好例。

         例   A 和 B都是 n 阶方阵，且 AB =A−B，试证明，A+E 可逆，且 AB = BA

        分析  要先生成 A+ E ，只有在  AB =A−B   上想办法。

                     AB+B = A+E−E  ， E =（A+E）（E−B）

        这表明   A+ E 可逆， 且它的（右逆）为 E−B

        如何证第二问？好象没条件了。如果你能想到，右逆就是左逆。那就动笔试乘一下

                   （E−B）（A+E）= E =（A+E）（E−B）    整理后恰好有   AB = BA

        真妙啊，研考题会不会这样做文章呢？！