20世纪以来，数学以前所未有的速度发展，现代数学的研究范围越来越广泛，研究结果也越来越深刻。现代数学在发展的过程中，体现出了一些大的趋势，下面就谈谈我的看法

一、从线性到非线性

随着数学理论的发展，人们对各种线性问题已经了解的比较透彻了，得到的理论也比较完整。然而，现实世界中充满了各种非线性问题和现象，比如流体力学中产生的各种Nonlinear Partial Differential Equations  ，人们对此却知之甚少。因而，各种Nonlinear Analysis成为现代数学研究的热点，比如Nonlinear Functional Analysis ，微分动力系统等。数学家们在处理这类问题时一个很基本的做法就是将非线性问题转化为线性问题，不过我认为要想成功解释一大类非线性现象，还得需要创造专门的“非线性工具”，这样才能实现大的突破。

二、从局部到整体

最好的例子就是微分几何的发展了。在20世纪40年代以前，传统的微分几何理论是关于几何对象（各种曲面、流形）的局部性质的，几乎没有关于整体的重大结果。然而，那时的代数拓扑蓬勃发展，一跃成为现代数学的核心。拓扑学的重大突破给数学家们改造微分几何带来了希望。40年代，陈省身借助拓扑学的工具，引入“超度”的概念，给出了Gauss-Bonnet的内蕴证明，整个文章只有薄薄的6页纸，相当的简洁、漂亮。不久，陈又提出了著名的现在被称为Chern Class的理论，从此整体微分几何登上了现代数学的舞台。

三、数学各个分支相互融合、相互渗透

上世纪70-80年代，Yau 和Hamilton 等人用强有力的分析方法，例如Ricci flow（一种偏微分方程），来研究微分几何和拓扑学的问题，取得了一系列的重大突破，从而开创了几何分析这一新的研究方向。

现代Algebraic Geometry的发展更是如此，它与数论结合形成一个全新的研究领域——算术代数几何。80年代Faltings证明Mordell猜想的工作、90年代Wiles证明费马大定理的工作都属于这个范畴。本世纪出，谷山—志村猜想已经被四位数学家联合解决。

除此之外，法国数学家孔涅在算子代数的基础上发展出Noncommunicative Geometry 。

四、理论物理学的需求促进了数学的发展。

为了给量子物理提供一个好的数学框架，数学家们提出各种各样的代数结构，这促使算子代数向前发展。值得一提的是，最近中科院青年数学家袁巍博士引入了一类新的代数结构，从而将两种已有的代数结合起来，揭示了它们的内在联系，论文的部分内容被美国科学院院刊罕见地以两篇长文刊登。

数学物理学中涌现出大量的成果，极大地推动了数学和理论物理的发展。Calabi-Yau空间、Chern-Simons不变量在物理中得到广泛地应用。物理学家Witten 和Wafa等人提出的猜想和理论不断地刺激着数学的发展。

总之，现代数学在以一种“多元化”的方式快速的朝前发展，任何想要在现代数学中做出贡献的人都必须广泛地、深刻地了解数学。