简言之，数学分析就是建立在实数理论基础上的以极限方法研究real function 的分支。所以，大家切不可轻视实数完备性理论的学习，尤其是确界原理、Weierstrass-Bolzano定理、区间套定理、Cauchy准则和Heine-Borel有限覆盖定理的思想方法。它们在后继课程complex and real analysis 中也是非常有用的。此外，学有余力的同学还可以了解以下实数公理化及Dedekind分割的相关知识，可参看菲赫金哥尔茨著的《微积分教程》第一卷。

极限论中最基本的的要求就是能够熟练的运用精确的分析语言，并深入地理解“连续”的含义。在这部分内容上下一番苦功是很值得的。函数极限一章中最基本的定理当属Heine归结原则和Cauchy收敛准则了。归结原则在本质上将函数极限的问题化为数列极限的问题，这一点在证明函数在某处极限不存在时得到充分体现。

连续函数有诸多良好的性质，比如闭区间上连续函数存在最大植与最小值等等。此外，连续函数一定是Riemann可积的，这一点相当重要。另一个引人注目的主题是“一致连续”。

读者熟知，闭区间上连续函数一定一致连续。那么，开区间上的情形又如何呢？大家可就这一问题做一些探索，这对学有余力的同学来说可是一个提高与拓展的好机会哦。

对于导数和微分，我们既要了解它们的思想背景，也要重视其应用。中值定理可算是一元微分学的顶峰了。

最迷人的要算是Riemann积分理论了。现在看来，积分思想是朴素的：分割、近似代替、求和、取极限，可在当时，这绝对是一项“惊天地，泣鬼神”的伟大发明了。

北大的一道面试题是这样的，你认为数学分析中最重要的定理是什么？当然是Newton-Leibniz公式了，因为它揭示了微分学与积分学之间的本质联系。

在学习Riemann积分理论的同时，一些有天分的同学应当能够洞察出它的局限性，这一点在学习了real analysis 后会有更加实际的体会。

有兴趣的同学还可以了解一些课外知识，比如黎曼-斯蒂尔斯积分等。

函数项级数理论中最重要的概念是“一致收敛”，它使得逐项求极限、求导、求积分成为可能。

对于多元微积分，我想说的是，除了深刻的Green公式、Gauss公式、Stokes公式以外，外微分形式也是很有意思的，不妨一读。

有一本颇具现代数学风格的书，用全新的观点处理经典微积分中的课题，推荐给大家：

齐民友先生翻译的《Calculus on manifolds》。

最后谈谈参考书（习题集）的问题。如果你能解决裴礼文的《数学分析中的典型例题与方法》，那么可以考一个不错的学校了。但是，如果你想冲击一下北大或者中科院的话，那么我建议你去挑战一下谢惠民编著的《数学分析习题课教程》吧！

一些国外的经典教材值得一读：

1、  Zorich 的《Mathematical Analysis》

2、  Rudin 的《Principles of Mathematical Analysis》.

    当然，要想获得良好的分析功底，大量的练习与深入的思考是必不可少的。